자연계열 1번

(1) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(t)=2\sin t\cos t+4=\sin2t+4$이고, 직선의 방정식은 $\displaystyle y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이고 역함수 미분법에 의해 곡선 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 위의 점 $\displaystyle (f(t),t)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac1{f^{\prime}(t)}$이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac1{f^{\prime}(t)}(x-f(t))+t$이다. 두 접선의 교점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle g(t)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)(g(t)-t)+f(t)=\frac1{f^{\prime}(t)}(g(t)-f(t))+t$를 만족한다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle g(t)=\frac{tf^{\prime}(t)-f(t)}{f^{\prime}(t)-1}=\frac{t\sin2t-\sin^2t-3}{\sin2t+3}$이다. 따라서 $\displaystyle g\left(\frac\pi2\right)=-\frac43$이다.

(2) $\displaystyle g(t)=\frac{tf^{\prime}(t)-f(t)}{f^{\prime}(t)-1}$을 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac{f^{\prime\prime}(t)(f(t)-t)}{(f^{\prime}(t)-1)^2}=\frac{2\cos2t(\sin^2t+3t+3)}{(\sin2t+3)^2}$이고 함수 $\displaystyle h(t)=\sin^2t+3t+3$은 $\displaystyle h^{\prime}(t)=2\sin t\cos t+3=\sin2t+3\ge2$이므로 $\displaystyle h(t)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 증가함수이고 $\displaystyle h(t)\ge h(0)=3$이다. 그러므로 $\displaystyle g^{\prime}(t)=0$이면 $\displaystyle \cos2t=0$을 만족하므로 $\displaystyle t=\frac\pi4,\ \frac{3\pi}4$이다.$\displaystyle g(0)=-1,\ g\left(\frac\pi4\right)=\frac{\pi-14}{16},\ g\left(\frac{3\pi}4\right)=-\frac{3\pi+14}8,\ g(\pi)=-1$이므로 함수 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle g\left(\frac{3\pi}4\right)=-\frac{3\pi+14}8$이고 최댓값은 $\displaystyle g\left(\frac\pi4\right)=\frac{\pi-14}{16}$이다.

(3) $\displaystyle x=f(t)\ (0\le t\le\pi)$와 치환적분을 이용하면$\displaystyle \int_{f(0)}^{f(\pi)}g(f^{-1}(x))\,dx=\int_0^\pi g(t)f^{\prime}(t)\,dt$이므로 $\displaystyle \int_{f(0)}^{f(\pi)}g(f^{-1}(x))\,dx-\int_0^\pi g(t)\,dt=\int_0^\pi g(t)(f^{\prime}(t)-1)\,dt=\int_0^\pi(tf^{\prime}(t)-f(t))\,dt$이다. $\displaystyle \int_0^\pi t\sin2t\,dt=\Biggl[-\frac t2\cos2t\Biggr]_0^\pi+\int_0^\pi\frac12\cos2t\,dt=-\frac\pi2,\ \int_0^\pi\sin^2t\,dt=\int_0^\pi\frac{1-\cos2t}2\,dt=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \int_{f(0)}^{f(\pi)}g(f^{-1}(x))\,dx-\int_0^\pi g(t)\,dt=\int_0^\pi(t\sin2t-\sin^2t-3)\,dt=-4\pi$이다.