자연계열 2번

동국대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2025mo/jayeon_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] (공간에서) 한 점에서 만나는 서로 다른 두 직선은 한 평면을 결정하므로 그 평면 위에서 두 직선이 이루는 각을 정할 수 있다.-『고등학교 기하』

[나] 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면위에 있지 않으므로 두 직선이 이루는 각은 다음과 같이 정한다.두 직선 $\displaystyle l$ 과 $\displaystyle m$ 이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $\displaystyle m$ 위의 임의의 점 O를 지나고 직선 $\displaystyle l$ 에 평행한 직선을 $\displaystyle l^{\prime}$ 이라고 하면 두 직선 $\displaystyle l^{\prime},m$ 은 한 평면을 결정한다. 이 때 두 직선 $\displaystyle l^{\prime},m$ 이 이루는 각 중 크기가 크지 않은 쪽의 각을 두 직선 $\displaystyle l,m$ 이 이루는 각이라고 한다.-『고등학교 기하』

[다] 직선 $\displaystyle l$ 이 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 한 점 O에서 만나고 점 O를 지나는 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 모든 직선과 수직일 때 직선 $\displaystyle l$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 는 서로 수직이라고 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle l\perp\alpha$ 와 같이 나타낸다. 이때 직선 $\displaystyle l$ 을 평면 $\displaystyle \alpha$ 의 수선이라고 하며, 직선 $\displaystyle l$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 만나는 점 O를 수선의 발이라고 한다.직선 $\displaystyle l$ 이 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 평행하지 않은 두 직선과 각각 수직이면 $\displaystyle l\perp\alpha$ .-『고등학교 기하』

[라] 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있지 않은 점 P, 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 O, 점 O를 지나지 않고 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있는 한 직선 $\displaystyle l$ , 직선 $\displaystyle l$ 위의 점 H에 대하여(1) $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha,\ \overline{\mathrm{OH}}\perp l$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}\perp l$ (2) $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha,\ \overline{\mathrm{PH}}\perp l$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}\perp l$ (3) $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}\perp l,\ \overline{\mathrm{OH}}\perp l,\ \overline{\mathrm{PO}}\perp\overline{\mathrm{OH}}$ 이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}\perp\alpha$ -『고등학교 기하』

[문제2]다음 전개도로 만든 정육면체에서 다음 두 직선들이 이루는 각의 크기를 구하고 위 제시문 중 어느 것을 사용하였는지 서술하시오.(1) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 　(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 　(3) $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}}$ 그리고, 선분 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm G$ 라고 할 때, 이 전개도로 만든 정육면체에서(4) $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 가 이루는 각을 제시문 [라]의 삼수선의 정리를 이용하여 구하시오.

<15줄 이내>

해설강의 준비중

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문제의 전개도로 만든 정육면체와 해당하는 점들은 아래와 같다.

1단계

(1) $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 점 $\displaystyle \mathrm{A,B,C}$ 가 평면을 이루므로 제시문 【가】에 의해 각을 구할 수 있다. 이 평면에서 삼각형 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$ 는 정삼각형이므로 구하는 각은 $\displaystyle \frac\pi3$ 이다.

2단계

(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 두 직선은 꼬인위치이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$ 와 평행한 직선 $\displaystyle \overline{\mathrm{HD}}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 와 점 $\displaystyle \mathrm G$ 에서 만난다. 사각형 $\displaystyle \mathrm{FHED}$ 는 정사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HD}}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 는 수직이다.Correction. ‘ $\displaystyle \overline{\mathrm{HD}}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 는 수직이다’는 ‘ $\displaystyle \overline{\mathrm{HD}}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 와 수직이다’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, 제시문 【나】에 의해 구하는 각은 $\displaystyle \frac\pi2$ 이다.

3단계

(3) $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$ 는 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$ 와 수직이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{DF}}$ 와도 수직이다. 따라서, 제시문 【다】에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{D,E,H,F}$ 를 지나는 평면에 수직이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{DH}}$ 는 이 평면위에 있는 직선이므로, 제시문 【다】에 의해 구하는 각은 $\displaystyle \frac\pi2$ 이다.

4단계

(4) $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$ 는 점 $\displaystyle \mathrm{D,E,H,F}$ 를 지나는 평면에 수직이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{DG}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{EF}}$ 도 수직이다. 제시문 【라】의 삼수선 정리에 의해 구하는 각은 $\displaystyle \frac\pi2$ 이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [4단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
상	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
중	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
중	[1단계]부터 [4단계]중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
중	[1단계]부터 [4단계]중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
하	[1단계]부터 [4단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
하	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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