자연계열 3번

[(1) 풀이]점 $\displaystyle \mathrm A$의 좌표를 $\displaystyle (a,0)$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 원 위를 움직이므로, 시각 $\displaystyle t$일 때, 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 좌표는 $\displaystyle (\cos(t+\theta),\sin(t+\theta))$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{Q,P}$로부터 각각 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm h_Q,\mathrm h_P$라 하면, $\displaystyle \angle\mathrm{QAh}_Q=\angle\mathrm{PAh}_P$이므로, $\displaystyle \tan(\angle\mathrm{QAh}_Q)=\tan(\angle\mathrm{PAh}_P)$이고, 다음을 얻는다.$\displaystyle \frac{\sin(t+\theta)}{a-\cos(t+\theta)}=\frac{\sin\theta}{a-\cos\theta}.$Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: $\displaystyle \theta=0$이면 $\displaystyle P=A=(1,0)$이므로 기울기를 나타낸 식의 $\displaystyle \frac{\sin\theta}{a-\cos\theta}$는 $\displaystyle 0/0$이 된다. 이 경우 점 $\displaystyle A$는 움직이지 않아 속력이 $\displaystyle 0$임을 따로 확인하고, 나머지 계산은 $\displaystyle 0<\theta\le\frac\pi3$에서 진행해야 한다. 이렇게 보충하면 최종 속력식 $\displaystyle \frac{\sin\theta}{1-\sin\theta}$은 $\displaystyle \theta=0$에서도 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이를 정리하면 $\displaystyle (a-\cos\theta)\sin(t+\theta)-\sin\theta(a-\cos(t+\theta))=0$이고, 음함수의 미분법을 적용하여 $\displaystyle t$에 대해 미분하면,$\displaystyle \frac{da}{dt}\sin(t+\theta)+(a-\cos\theta)\cos(t+\theta)-\sin\theta\left(\frac{da}{dt}+\sin(t+\theta)\right)=0.$점 $\displaystyle \mathrm Q$가 점 $\displaystyle (0,1)$을 지날 때, $\displaystyle t+\theta=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin(t+\theta)=1,\ \cos(t+\theta)=0$이다.이를 위 식에 대입하고 정리하면 $\displaystyle |v_{\mathrm A}|=\left|\frac{da}{dt}\right|=\frac{\sin\theta}{1-\sin\theta}\ \left(0\le\theta\le\frac\pi3\text{이므로}\right)$.

[(2) 풀이]$\displaystyle |v_{\mathrm A}|(\theta)=\frac{\sin\theta}{1-\sin\theta}$를 $\displaystyle \theta$에 대해 미분하면 ($\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi3$에 대해)$\displaystyle \frac{\cos\theta(1-\sin\theta)+\sin\theta\cos\theta}{(1-\sin\theta)^2}=\frac{\cos\theta}{(1-\sin\theta)^2}>0$이므로 $\displaystyle |v_{\mathrm A}|(\theta)$는 주어진 구간에서 증가함수이다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$일 때이고, 이 때 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}2$이므로, 최댓값은 $\displaystyle 3+2\sqrt3$이다.

위 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 위치가 $\displaystyle (0,1)$일 때, $\displaystyle \angle\mathrm{OQA}=\alpha$라 하면 $\displaystyle d_{\mathrm A}^2=\frac1{\cos^2\alpha}$이다. 한편, 직선 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$의 길이가 같으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{OPQ}=\alpha$이고, $\displaystyle 2\alpha=\theta+\frac\pi2$가 성립한다.Correction. ‘직선 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{OP}$’는 ‘선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}$와 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서, $\displaystyle d_{\mathrm A}^2=\frac1{\cos^2\alpha}=\frac2{1+\cos2\alpha}=\frac2{1+\cos\left(\theta+\frac\pi2\right)}=\frac2{1-\sin\theta}$이고, $\displaystyle \frac{d_{\mathrm A}^2}{|v_{\mathrm A}|}=\frac2{\sin\theta}=4$이므로, $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이다.