자연계열 1번

(1) 이차함수 $\displaystyle y=x^2+(\frac13-2k)x+k$과 직선 $\displaystyle y=x$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 두 식을 연립한 방정식 $\displaystyle x^2-2(\frac13+k)x+k=0$의 해이다. 이 방정식의 판별식은 $\displaystyle \frac D4=(k+\frac13)^2-k=(k-\frac16)^2+\frac1{12}>0$이므로 두 실수해 $\displaystyle \alpha,\ \beta$를 가진다. 이 경우 두 교점은 점 $\displaystyle \mathrm Q_1(\alpha,\alpha)$과 점 $\displaystyle \mathrm Q_2(\beta,\beta)$이다.

벡터 $\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}=(\alpha,\alpha-1),\ \vec b=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}=(\beta,\beta-1)$라고 놓으면, 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|a||b|}=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}$이다.

두 수 $\displaystyle \alpha,\ \beta$는 제시문 [나]에 의하여 $\displaystyle \alpha+\beta=2k+\frac23,\ \alpha\beta=k$이다. 따라서 $\displaystyle \cos\theta$의 값에 대한 위의 식을 정리하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}=\frac{2\alpha\beta-\alpha-\beta+1}{\sqrt{4\alpha^2\beta^2-2(2\alpha\beta-\alpha-\beta+1)(\alpha+\beta)+1}}=\frac1{\sqrt{(6k-1)^2+4}}$이다.

(2) $\displaystyle \frac1{4\cos^2\theta}=9(k-\frac16)^2+1$이므로 제시문 [가]에 의하여 $\displaystyle k=\frac16$일 때, $\displaystyle \frac1{4\cos^2\theta}$는 최솟값 1을 가진다. $\displaystyle \cos\theta$는 양수이므로 그때의 $\displaystyle \cos\theta$의 최댓값은 $\displaystyle \frac12$이고 $\displaystyle \theta$의 최솟값은 $\displaystyle \frac\pi3$이다.

(3) $\displaystyle k=\frac16$일 때, 연립방정식 $\displaystyle x^2-x+\frac16=0$을 풀면 $\displaystyle \alpha=\frac{3+\sqrt3}6,\ \beta=\frac{3-\sqrt3}6$ (또는 $\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt3}6,\ \beta=\frac{3+\sqrt3}6$)으로 점 $\displaystyle \mathrm Q_1,\ \mathrm Q_2$의 좌표는 $\displaystyle (\frac{3+\sqrt3}6,\frac{3+\sqrt3}6),\ (\frac{3-\sqrt3}6,\frac{3-\sqrt3}6)$이다.