수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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동국대 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2025su/jayeon_1

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] x\displaystyle x가 모든 실수의 값을 가질 때, 이차함수 y=a(x−p)2+q (a≠0)\displaystyle y=a(x-p)^2+q\ (a\ne0)의 최댓값과 최솟값은a>0\displaystyle a>0이면 x=p\displaystyle x=p에서 최솟값 q\displaystyle q를 갖고, 최댓값은 없다.a<0\displaystyle a<0이면 x=p\displaystyle x=p에서 최댓값 q\displaystyle q를 갖고, 최솟값은 없다.-『고등학교 수학』

[나] a, b, c\displaystyle a,\ b,\ c가 실수일 때, 방정식 ax2+bx+c=0 (a≠0)\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)의 두 근을 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta라고 하면α+β=−ba,αβ=ca\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba,\quad\alpha\beta=\frac ca-『고등학교 수학』

[다] 영벡터가 아닌 두 평면벡터 a⃗=(a1,a2)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2)와 b⃗=(b1,b2)\displaystyle \vec b=(b_1,b_2)가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때,cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a∣∣b∣=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|a||b|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}-『고등학교 기하』

[문제1] 좌표평면 위의 점 P(0,1)\displaystyle \mathrm P(0,1)가 주어져 있고 이차함수 y=x2+(13−2k)x+k\displaystyle y=x^2+(\frac13-2k)x+k와 직선 y=x\displaystyle y=x의 두 교점을 Q1, Q2\displaystyle \mathrm Q_1,\ \mathrm Q_2라고 하자. 점 P와 점 Q1\displaystyle \mathrm Q_1, 점 P와 점 Q2\displaystyle \mathrm Q_2를 지나는 직선을 각각 ℓ1, ℓ2\displaystyle \ell_1,\ \ell_2라고 하자. 두 직선 ℓ1, ℓ2\displaystyle \ell_1,\ \ell_2가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle \theta라고 할 때, 제시문을 이용하여 다음을 구하시오. (단, 0≤θ≤π2\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2)

(1) cos⁡θ\displaystyle \cos\theta를 실수 k\displaystyle k를 이용하여 나타내시오.

(2) θ\displaystyle \theta가 최솟값을 가질 때의 실수 k\displaystyle k의 값과 그때의 θ\displaystyle \theta를 구하시오.

(3) θ\displaystyle \theta가 최솟값을 가질 때의 점 Q1, Q2\displaystyle \mathrm Q_1,\ \mathrm Q_2의 좌표를 구하시오.

<15줄 이내> [30점]

해설강의 준비중

동국대 2025학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2025su/jayeon_1

단계 1

(1) 이차함수 y=x2+(13−2k)x+k\displaystyle y=x^2+(\frac13-2k)x+k과 직선 y=x\displaystyle y=x의 교점의 x\displaystyle x좌표는 두 식을 연립한 방정식 x2−2(13+k)x+k=0\displaystyle x^2-2(\frac13+k)x+k=0의 해이다. 이 방정식의 판별식은 D4=(k+13)2−k=(k−16)2+112>0\displaystyle \frac D4=(k+\frac13)^2-k=(k-\frac16)^2+\frac1{12}>0이므로 두 실수해 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta를 가진다. 이 경우 두 교점은 점 Q1(α,α)\displaystyle \mathrm Q_1(\alpha,\alpha)과 점 Q2(β,β)\displaystyle \mathrm Q_2(\beta,\beta)이다.

단계 2 · 벡터 a⃗=PQ1→=(α,α−1), b⃗=PQ2→=(β,β−1)\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}=(\alpha,\alpha-1),\ \vec b=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}=(\beta,\beta-1)라고 놓으면, 제시문 [다]에 의하여 다음을 얻는다.cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a∣∣b∣=αβ+(α−1)(β−1)α2+(α−1)2β2+(β−1)2\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|a||b|}=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}

벡터 a⃗=PQ1→=(α,α−1), b⃗=PQ2→=(β,β−1)\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_1}=(\alpha,\alpha-1),\ \vec b=\overrightarrow{\mathrm{PQ}_2}=(\beta,\beta-1)라고 놓으면, 제시문 [다]에 의하여 cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a∣∣b∣=αβ+(α−1)(β−1)α2+(α−1)2β2+(β−1)2\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|a||b|}=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}이다.

단계 3 · 두 수 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta는 x2−2(13+k)x+k=0\displaystyle x^2-2(\frac13+k)x+k=0의 해이므로, 제시문 [나]에 의하여 α+β=2k+23, αβ=k\displaystyle \alpha+\beta=2k+\frac23,\ \alpha\beta=k이다. cos⁡θ\displaystyle \cos\theta의 값에 대한 위의 식을 정리하면 다음을 얻는다.cos⁡θ=αβ+(α−1)(β−1)α2+(α−1)2β2+(β−1)2=2αβ−α−β+14α2β2−2(2αβ−α−β+1)(α+β)+1=1(6k−1)2+4\displaystyle \cos\theta=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}=\frac{2\alpha\beta-\alpha-\beta+1}{\sqrt{4\alpha^2\beta^2-2(2\alpha\beta-\alpha-\beta+1)(\alpha+\beta)+1}}=\frac1{\sqrt{(6k-1)^2+4}}이며 cos⁡θ>0\displaystyle \cos\theta>0이므로 0≤θ<π2\displaystyle 0\le\theta<\frac\pi2임을 확인 할 수 있다.

두 수 α, β\displaystyle \alpha,\ \beta는 제시문 [나]에 의하여 α+β=2k+23, αβ=k\displaystyle \alpha+\beta=2k+\frac23,\ \alpha\beta=k이다. 따라서 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta의 값에 대한 위의 식을 정리하면cos⁡θ=αβ+(α−1)(β−1)α2+(α−1)2β2+(β−1)2=2αβ−α−β+14α2β2−2(2αβ−α−β+1)(α+β)+1=1(6k−1)2+4\displaystyle \cos\theta=\frac{\alpha\beta+(\alpha-1)(\beta-1)}{\sqrt{\alpha^2+(\alpha-1)^2}\sqrt{\beta^2+(\beta-1)^2}}=\frac{2\alpha\beta-\alpha-\beta+1}{\sqrt{4\alpha^2\beta^2-2(2\alpha\beta-\alpha-\beta+1)(\alpha+\beta)+1}}=\frac1{\sqrt{(6k-1)^2+4}}이다.

단계 4

(2) 14cos⁡2θ=9(k−16)2+1\displaystyle \frac1{4\cos^2\theta}=9(k-\frac16)^2+1이므로 제시문 [가]에 의하여 k=16\displaystyle k=\frac16일 때, 14cos⁡2θ\displaystyle \frac1{4\cos^2\theta}는 최솟값 1을 가진다. cos⁡θ\displaystyle \cos\theta는 양수이므로 그때의 cos⁡θ\displaystyle \cos\theta의 최댓값은 12\displaystyle \frac12이고 θ\displaystyle \theta의 최솟값은 π3\displaystyle \frac\pi3이다.

단계 5

(3) k=16\displaystyle k=\frac16일 때, 연립방정식 x2−x+16=0\displaystyle x^2-x+\frac16=0을 풀면 α=3+36, β=3−36\displaystyle \alpha=\frac{3+\sqrt3}6,\ \beta=\frac{3-\sqrt3}6 (또는 α=3−36, β=3+36\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt3}6,\ \beta=\frac{3+\sqrt3}6)으로 점 Q1, Q2\displaystyle \mathrm Q_1,\ \mathrm Q_2의 좌표는 (3+36,3+36), (3−36,3−36)\displaystyle (\frac{3+\sqrt3}6,\frac{3+\sqrt3}6),\ (\frac{3-\sqrt3}6,\frac{3-\sqrt3}6)이다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계의 논증이 매끄럽고 모든 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우S

Correction. 이 표는 『2025학년도 동국대학교 수시모집 논술전형 논술고사 문제 문항카드(자연계열)』를 기준으로 실었다. 『2025학년도 동국대 수시논술』의 문항카드 7은 평가기준을 5단계로 제시하면서 등급표에서는 4단계까지만 언급한다.

상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 작성하고 모든 소문항의 답을 얻은 경우A
중[1단계]부터 [5단꼐] 중 네 단계를 작성하고 2개의 소문항의 답을 얻은 경우B
중[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 1개의 소문항의 답을 얻은 경우C
중[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성한 경우D
하[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우E
하어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

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