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자연계열 3번

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동국대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2025su/jayeon_3

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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0일 때, 정적분∫abf(x)dx\displaystyle \int_a^bf(x)dx는 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=a, x=b\displaystyle x=a,\ x=b로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.-『고등학교 수학II』

[나] 함수 y=xr\displaystyle y=x^r(r\displaystyle r은 실수)의 부정적분은1) r≠−1\displaystyle r\ne-1일 때, ∫xr dx=1r+1xr+1+C\displaystyle \int x^r\,dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+C2) r=−1\displaystyle r=-1일 때, ∫x−1dx=ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int x^{-1}dx=\ln|x|+C-『고등학교 미적분』

[다] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx(단, Δx=b−an, xk=a+kΔx)\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x\quad\text{(단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\ x_k=a+k\Delta x\text{)}-『고등학교 미적분』

[문제3] 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta는 αβα−β=20n, α+β=9n, α>β>0\displaystyle \frac{\alpha\beta}{\alpha-\beta}=20n,\ \alpha+\beta=9n,\ \alpha>\beta>0을 만족한다. 두 곡선 y=(x−α)(x−β)\displaystyle y=(x-\alpha)(x-\beta)와 y=3αβ(α−β)5x\displaystyle y=\frac{3\alpha\beta(\alpha-\beta)}{5x}로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sn\displaystyle S_n이라 하자. (단, n\displaystyle n은 자연수)

(1) 두 곡선의 교점의 x\displaystyle x좌표를 n\displaystyle n을 이용하여 나타내시오.

(2) 교점을 꼭짓점으로 하는 다각형의 넓이를 An\displaystyle A_n이라 할 때, An\displaystyle A_n을 구하시오.

(3) Sn\displaystyle S_n을 구하시오.

(4) lim⁡n→∞1n7∑k=1nSkA2k\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^7}\sum_{k=1}^nS_kA_{2k}를 구하시오.

<27줄 이내> [40점]

해설강의 준비중

동국대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2025su/jayeon_3

1단계

(1) 주어진 조건으로부터 (α−β)2=(α+β)2−4αβ=81n2−80n(α−β)\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=81n^2-80n(\alpha-\beta)이고 (α−β)2+80n(α−β)−81n2=0\displaystyle (\alpha-\beta)^2+80n(\alpha-\beta)-81n^2=0을 만족한다. α−β>0\displaystyle \alpha-\beta>0이므로 만족하는 해는 α−β=n\displaystyle \alpha-\beta=n이고 곡선은 y=x2−9nx+20n2, y=12n3x\displaystyle y=x^2-9nx+20n^2,\ y=\frac{12n^3}x이다.

2단계

두 곡선의 교점을 찾기 위하여 x2−9nx+20n2=12n3x\displaystyle x^2-9nx+20n^2=\frac{12n^3}x라 두자. 식을 정리하면 x3−9nx2+20n2x=12n3\displaystyle x^3-9nx^2+20n^2x=12n^3이 되고 인수분해 하면 (x−n)(x−2n)(x−6n)=0\displaystyle (x-n)(x-2n)(x-6n)=0이다. 따라서, x=n\displaystyle x=n 또는 x=2n\displaystyle x=2n 또는 x=6n\displaystyle x=6n이다.

3단계

(2) 교점은 (n,12n2),(2n,6n2),(6n,2n2)\displaystyle (n,12n^2),(2n,6n^2),(6n,2n^2)이며 두 점 (n,12n2),(6n,2n2)\displaystyle (n,12n^2),(6n,2n^2)을 지나는 직선의 방정식은 y=−2nx+14n2\displaystyle y=-2nx+14n^2이다. 점 (2n,6n2)\displaystyle (2n,6n^2)에서 직선까지 거리는 d=∣2n(2n)+1(6n2)−14n2∣(2n)2+12=4n24n2+1\displaystyle d=\frac{|2n(2n)+1(6n^2)-14n^2|}{\sqrt{(2n)^2+1^2}}=\frac{4n^2}{\sqrt{4n^2+1}}, 두 점 (n,12n2),(6n,2n2)\displaystyle (n,12n^2),(6n,2n^2)사이의 거리는 h=5n1+4n2\displaystyle h=5n\sqrt{1+4n^2}이다. 그러므로 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 An=dh2=10n3\displaystyle A_n=\frac{dh}2=10n^3이다.

4단계

(3) 위의 결과로부터, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 Sn\displaystyle S_n은 다음과 같다.Sn=∫n6n∣x2−9nx+20n2−12n3x∣dx\displaystyle S_n=\int_n^{6n}\left|x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x\right|dx=∫n2n(x2−9nx+20n2−12n3x)dx−∫2n6n(x2−9nx+20n2−12n3x)dx\displaystyle =\int_n^{2n}(x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x)dx-\int_{2n}^{6n}(x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x)dx=[x33]n2n−9n[x22]n2n+20n2[x]n2n−12n3[ln⁡∣x∣]n2n−[x33]2n6n+9n[x22]2n6n−20n2[x]2n6n+12n3[ln⁡∣x∣]2n6n\displaystyle =\Biggl[\frac{x^3}3\Biggr]_n^{2n}-9n\Biggl[\frac{x^2}2\Biggr]_n^{2n}+20n^2\Biggl[x\Biggr]_n^{2n}-12n^3\Biggl[\ln|x|\Biggr]_n^{2n}-\Biggl[\frac{x^3}3\Biggr]_{2n}^{6n}+9n\Biggl[\frac{x^2}2\Biggr]_{2n}^{6n}-20n^2\Biggl[x\Biggr]_{2n}^{6n}+12n^3\Biggl[\ln|x|\Biggr]_{2n}^{6n}=73n3−272n3+20n3−12n3ln⁡2−2083n3+144n3−80n3+12n3ln⁡3\displaystyle =\frac73n^3-\frac{27}2n^3+20n^3-12n^3\ln2-\frac{208}3n^3+144n^3-80n^3+12n^3\ln3식을 정리 하면 Sn=72n3+12n3ln⁡32=(72+12ln⁡32)n3\displaystyle S_n=\frac72n^3+12n^3\ln\frac32=(\frac72+12\ln\frac32)n^3이다.

5단계

(4) 제시문 [다]에 의하여lim⁡n→∞1n7∑k=1nSkA2k=10(72+12ln⁡32)lim⁡n→∞∑k=1n(kn)3(2k2n)323n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^7}\sum_{k=1}^nS_kA_{2k}=10(\frac72+12\ln\frac32)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(\frac kn)^3(\frac{2k}{2n})^3\frac{2^3}n=80(72+12ln⁡32)∫01x6dx=807(72+12ln⁡32)=40+9607ln⁡32\displaystyle =80(\frac72+12\ln\frac32)\int_0^1x^6dx=\frac{80}7(\frac72+12\ln\frac32)=40+\frac{960}7\ln\frac32이다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계의 논증이 매끄럽고 모든 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우S
상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 작성하고 모든 소문항의 답을 얻은 경우A
중[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 3개의 소문항의 답을 얻은 경우B
중[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 2개의 소문항의 답을 얻은 경우C
중[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 1개의 소문항의 답을 얻은 경우D
하[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우E
하어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우F

첨삭 사례

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