자연계열 3번

(1) 주어진 조건으로부터 $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=81n^2-80n(\alpha-\beta)$이고 $\displaystyle (\alpha-\beta)^2+80n(\alpha-\beta)-81n^2=0$을 만족한다. $\displaystyle \alpha-\beta>0$이므로 만족하는 해는 $\displaystyle \alpha-\beta=n$이고 곡선은 $\displaystyle y=x^2-9nx+20n^2,\ y=\frac{12n^3}x$이다.

두 곡선의 교점을 찾기 위하여 $\displaystyle x^2-9nx+20n^2=\frac{12n^3}x$라 두자. 식을 정리하면 $\displaystyle x^3-9nx^2+20n^2x=12n^3$이 되고 인수분해 하면 $\displaystyle (x-n)(x-2n)(x-6n)=0$이다. 따라서, $\displaystyle x=n$ 또는 $\displaystyle x=2n$ 또는 $\displaystyle x=6n$이다.

(2) 교점은 $\displaystyle (n,12n^2),(2n,6n^2),(6n,2n^2)$이며 두 점 $\displaystyle (n,12n^2),(6n,2n^2)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-2nx+14n^2$이다. 점 $\displaystyle (2n,6n^2)$에서 직선까지 거리는 $\displaystyle d=\frac{|2n(2n)+1(6n^2)-14n^2|}{\sqrt{(2n)^2+1^2}}=\frac{4n^2}{\sqrt{4n^2+1}}$, 두 점 $\displaystyle (n,12n^2),(6n,2n^2)$사이의 거리는 $\displaystyle h=5n\sqrt{1+4n^2}$이다. 그러므로 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 $\displaystyle A_n=\frac{dh}2=10n^3$이다.

(3) 위의 결과로부터, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S_n$은 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\int_n^{6n}\left|x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x\right|dx$$\displaystyle =\int_n^{2n}(x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x)dx-\int_{2n}^{6n}(x^2-9nx+20n^2-\frac{12n^3}x)dx$$\displaystyle =\Biggl[\frac{x^3}3\Biggr]_n^{2n}-9n\Biggl[\frac{x^2}2\Biggr]_n^{2n}+20n^2\Biggl[x\Biggr]_n^{2n}-12n^3\Biggl[\ln|x|\Biggr]_n^{2n}-\Biggl[\frac{x^3}3\Biggr]_{2n}^{6n}+9n\Biggl[\frac{x^2}2\Biggr]_{2n}^{6n}-20n^2\Biggl[x\Biggr]_{2n}^{6n}+12n^3\Biggl[\ln|x|\Biggr]_{2n}^{6n}$$\displaystyle =\frac73n^3-\frac{27}2n^3+20n^3-12n^3\ln2-\frac{208}3n^3+144n^3-80n^3+12n^3\ln3$식을 정리 하면 $\displaystyle S_n=\frac72n^3+12n^3\ln\frac32=(\frac72+12\ln\frac32)n^3$이다.

(4) 제시문 [다]에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^7}\sum_{k=1}^nS_kA_{2k}=10(\frac72+12\ln\frac32)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(\frac kn)^3(\frac{2k}{2n})^3\frac{2^3}n$$\displaystyle =80(\frac72+12\ln\frac32)\int_0^1x^6dx=\frac{80}7(\frac72+12\ln\frac32)=40+\frac{960}7\ln\frac32$이다.