자연계열 2번

체질량지수 $\displaystyle X$는 평균과 분산이 각각 $\displaystyle m,\ \sigma^2$인 정규분포를 따른다. 과체중일 확률은 $\displaystyle p_1=P(23\le X<25)$이고 비만일 확률은 $\displaystyle p_2=P(X\ge25)$라 하자.

임의로 3명을 뽑았을 때 비만인 사람의 수 $\displaystyle Y_1$은 이항분포 $\displaystyle B(3,p_1)$를 따르고 1명만이 비만일 확률은 $\displaystyle P(Y_1=1)={}_3C_1p_1(1-p_1)^2=3p_1(1-p_1)^2=0.75^3=3\times\frac14\times(\frac34)^2$이므로 $\displaystyle p_1$은 $\displaystyle \frac14,\frac{7\pm\sqrt{13}}8$이 되는 것을 알 수 있다.

임의로 3명을 뽑았을 때 과체중인 사람의 수 $\displaystyle Y_2$는 이항분포 $\displaystyle B(3,p_2)$를 따르고 1명만이 과체중일 확률은 $\displaystyle P(Y_2=1)={}_3C_1p_2(1-p_2)^2=3p_2(1-p_2)^2=\frac{48}{125}=3\times\frac15\times(\frac45)^2$로 $\displaystyle p_2$는 $\displaystyle \frac15,\frac{9\pm\sqrt{17}}{10}$이 되는 것을 알 수 있다.

$\displaystyle p_1,p_2$는 모두 0과 1사이의 값이며, 과체중 또는 비만의 확률이 $\displaystyle \frac12$미만이므로 $\displaystyle p_1+p_2<\frac12$를 만족해야한다. 따라서 $\displaystyle \frac14=p_1=P(23\le X<25),\ \frac15=p_2=P(X\ge25)$이 된다.

23 이상일 확률 $\displaystyle P(X\ge23)=P(23\le X<25)+P(X\ge25)=\frac9{20}$로 $\displaystyle \frac12$보다 작으므로 $\displaystyle \frac9{20}=\frac12-P(0\le Z\le\frac{23-m}\sigma),\ \frac15=\frac12-P(0\le Z\le\frac{25-m}\sigma)$을 확인할 수 있다.표준정규분포표를 이용하면 $\displaystyle \frac{25-m}\sigma=0.84,\quad\frac{23-m}\sigma=0.13$이 되어 분산은 $\displaystyle \sigma^2=(\frac2{0.71})^2$이 된다.

체질량지수가 23 초과 27 이하일 확률은 표준정규분포를 따르는 확률변수 $\displaystyle Z$가 $\displaystyle \frac{23-m}\sigma=0.13$에서 $\displaystyle \frac{27-m}\sigma=\frac{25-m}\sigma+\frac2\sigma=0.84+0.71=1.55$ 사이일 확률과 같으므로 다음과 같이 구한다.$\displaystyle P(23<X\le27)=P(0.13<Z\le1.55)=P(0\le Z\le1.55)-P(0\le Z\le0.13)=0.44-0.05=0.39$