자연계열 1번

장축이 $\displaystyle x$축이 되도록 타원을 잡으면 제시문【가】에 의하여 이 타원의 방정식은 $\displaystyle x^{2}+4y^{2}=1$이다.

타원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 $\displaystyle \left(\cos\theta,\,\frac{1}{2}\sin\theta\right)$라 하면, 제시문【나】에 의하여 $\displaystyle x$축 대칭점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\cos\theta,\,-\frac{1}{2}\sin\theta\right)$이다.선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 직선 $\displaystyle x=\cos\theta$ 위에 있고 그 길이는 $\displaystyle |\sin\theta|$이다.점 $\displaystyle \mathrm{R}$는 이 직선에서 가장 먼 타원 위의 점이므로 $\displaystyle (\pm 1,\,0)$이고,그때의 거리는 $\displaystyle 1+|\cos\theta|$이다.

따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$의 넓이는$\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot|\sin\theta|\cdot\left(1+|\cos\theta|\right)$이다.대칭에 의하여 $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$인 경우만 생각하면 $\displaystyle S(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta\left(1+\cos\theta\right)$이다.

$\displaystyle S(\theta)$를 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면$\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\frac{1}{2}\left(\cos\theta+\cos 2\theta\right)=\frac{1}{2}\left(2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1\right)=\frac{1}{2}\left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)$이고, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$에서 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=0$이 되는 것은 $\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$일 때뿐이다.이 앞뒤로 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$에서 최댓값을 가지며$\displaystyle S\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$이다.