자연계열 1번

동국대 2026학년도 모의 자연계열 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026mo/jayeon_1

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 두 초점 $\displaystyle \mathrm{F}(c,0)$ , $\displaystyle \mathrm{F}^{\prime}(-c,0)$ 에서의 거리의 합이 $\displaystyle 2a(a>c>0)$ 인 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (단, $\displaystyle b^2=a^2-c^2$ )– 『고등학교 기하』

[나] 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$ 를 $\displaystyle x$ 축에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ 의 좌표는 $\displaystyle (x,-y)$ , $\displaystyle y$ 축에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 의 좌표는 $\displaystyle (-x,y)$ , 원점에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{3}$ 의 좌표는 $\displaystyle (-x,-y)$ 이다.– 『고등학교 수학』

[다] 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.– 『고등학교 수학Ⅱ』

[라] 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=f(x)$ 가 미분가능할 때, 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는Correction. $\displaystyle u=f(x)$ 는 $\displaystyle u=g(x)$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}$ 또는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ – 『고등학교 미적분』

[마] $\displaystyle n$ 이 실수일 때, $\displaystyle y=x^{n} \ (x>0)$ 이면 $\displaystyle y^{\prime}=nx^{n-1}$ – 『고등학교 미적분』

[문제1] 장축의 길이가 $\displaystyle 2$ 이고 단축의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 타원이 주어졌다. 타원에서 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 잡고 그 점을 장축에 의하여 대칭한 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 를 잡자. 타원에서 또 다른 점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 을 잡아서 만든 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 의 넓이의 최댓값을 구하시오.

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타원

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1단계 · 장축이

\displaystyle x

축이 되도록 타원을 잡아 방정식

\displaystyle x^{2}+4y^{2}=1

을 얻는다.

장축이 $\displaystyle x$ 축이 되도록 타원을 잡으면 제시문【가】에 의하여 이 타원의 방정식은 $\displaystyle x^{2}+4y^{2}=1$ 이다.

Advice. 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 위의 점의 좌표는 $\displaystyle (a\cos\theta,\,b\sin\theta)$ 라고 놓는 게 편하다.

2단계 · 점

\displaystyle \mathrm{P}

의 좌표를 설정하고,

\displaystyle x

축 대칭점

\displaystyle \mathrm{Q}

와 넓이가 최대가 되는

\displaystyle \mathrm{R}\,(\pm 1,0)

을 찾는다.

타원 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 를 $\displaystyle \left(\cos\theta,\,\frac{1}{2}\sin\theta\right)$ 라 하면, 제시문【나】에 의하여 $\displaystyle x$ 축 대칭점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\cos\theta,\,-\frac{1}{2}\sin\theta\right)$ 이다.선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$ 는 직선 $\displaystyle x=\cos\theta$ 위에 있고 그 길이는 $\displaystyle |\sin\theta|$ 이다.점 $\displaystyle \mathrm{R}$ 는 이 직선에서 가장 먼 타원 위의 점이므로 $\displaystyle (\pm 1,\,0)$ 이고,그때의 거리는 $\displaystyle 1+|\cos\theta|$ 이다.

3단계 · 삼각형

\displaystyle \mathrm{PQR}

의 넓이를 한 변수의 식으로 나타낸다.

따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$ 의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\cdot|\sin\theta|\cdot\left(1+|\cos\theta|\right)$ 이다.대칭에 의하여 $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 인 경우만 생각하면 $\displaystyle S(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta\left(1+\cos\theta\right)$ 이다.

4단계 · 미분하여 최댓값

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{8}

을 구한다.

$\displaystyle S(\theta)$ 를 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\frac{1}{2}\left(\cos\theta+\cos 2\theta\right)=\frac{1}{2}\left(2\cos^{2}\theta+\cos\theta-1\right)=\frac{1}{2}\left(2\cos\theta-1\right)\left(\cos\theta+1\right)$ 이고, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 에서 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)=0$ 이 되는 것은 $\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}$ , 즉 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 일 때뿐이다.이 앞뒤로 $\displaystyle S^{\prime}(\theta)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$ 에서 최댓값을 가지며 $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$ 이다. 이때 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ 이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [4단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
상	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
중	[1단계]부터 [4단계]까지 모두 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
중	[1단계]부터 [4단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
중	[1단계]부터 [4단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
하	[1단계]부터 [4단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
하	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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