자연계열 2번

$\displaystyle 3$발의 총점이 $\displaystyle 29$점 이상인 경우는 사격 순서대로 점수를 나열하면 $\displaystyle (10,10,10)$, $\displaystyle (10,10,9)$, $\displaystyle (10,9,10)$, $\displaystyle (9,10,10)$와 같이 $\displaystyle 4$가지 경우의 사건으로 표현할 수 있고 이들 사건은 서로 배반이다..

철수가 $\displaystyle 1$발의 사격에서 $\displaystyle 10$점과 $\displaystyle 9$점을 받는 사건을 정의하기 위해서 ‘철수가 표적지를 맞추는 사건’ $\displaystyle A$, ‘$\displaystyle 1$발의 사격에서 $\displaystyle 10$점을 받을 사건’ $\displaystyle B_{1}$, ‘$\displaystyle 1$발의 사격에서 $\displaystyle 9$점을 받을 사건’ $\displaystyle B_{2}$를 먼저 정의한다. 그리고 철수가 $\displaystyle 1$발의 사격에서 $\displaystyle 10$점과 $\displaystyle 9$점을 받는 사건은 각각 $\displaystyle A\cap B_{1}$, $\displaystyle A\cap B_{2}$로 정리한다.$\displaystyle 1$발의 사격에서 표적지를 맞췄을 때 $\displaystyle 10$점과 $\displaystyle 9$점을 받을 확률은 각각$\displaystyle P(B_{1}\,|\,A)=p_{1}=\frac{25^{2}\pi}{550^{2}}=\frac{\pi}{22^{2}}$ 와 $\displaystyle P(B_{2}\,|\,A)=p_{2}=\frac{50^{2}\pi-25^{2}\pi}{550^{2}}=\frac{3\pi}{22^{2}}$이 된다.따라서 제시문 나)에 의해 철수가 $\displaystyle 1$발 사격에서 $\displaystyle 10$점과 $\displaystyle 9$점을 받을 확률은 각각$\displaystyle P(A\cap B_{1})=P(A)P(B_{1}\,|\,A)=0.81\times p_{1}$, $\displaystyle P(A\cap B_{2})=P(A)P(B_{2}\,|\,A)=0.81\times p_{2}$이 된다.

$\displaystyle 3$발의 사격은 각각 독립이므로 그 점수가 $\displaystyle (10,10,10)$, $\displaystyle (10,10,9)$, $\displaystyle (10,9,10)$, $\displaystyle (9,10,10)$인 경우의 확률은 제시문 다)에 의해 각각 $\displaystyle (0.81p_{1})^{3}$, $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$, $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$, $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$이 된다.

그러므로 제시문 가)에 의해 $\displaystyle 3$발의 사격에서 철수가 $\displaystyle 29$점 이상 받을 확률은 이들의 합과 같다.$\displaystyle (0.81p_{1})^{3}+3(0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})=0.81^{3}p_{1}^{2}(p_{1}+3p_{2})=0.81^{3}\left(\frac{\pi}{22^{2}}\right)^{2}\left(\frac{10\pi}{22^{2}}\right)=10\pi^{3}\left(\frac{9}{220}\right)^{6}$