자연계열 2번

동국대 2026학년도 모의 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026mo/jayeon_2

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 표본공간 $\displaystyle S$ 의 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 배반사건이면 $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ – 『고등학교 확률과 통계』

[나] 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B\,|\,A)$ (단, $\displaystyle P(A)\ne 0$ ) $\displaystyle P(A\cap B)=P(B)P(A\,|\,B)$ (단, $\displaystyle P(B)\ne 0$ )– 『고등학교 확률과 통계』

[다] 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$ (단, $\displaystyle P(A)\ne 0, \ P(B)\ne 0$ )– 『고등학교 확률과 통계』

[문제2] 철수는 한 변의 길이가 $\displaystyle 550\,\mathrm{mm}$ 인 정사각형의 표적지에 사격을 한다. 표적지에는 표적지 중심을 기준으로 반지름이 $\displaystyle 25\,\mathrm{mm}$ 부터 $\displaystyle 25\,\mathrm{mm}$ 씩 증가하는 동심원이 $\displaystyle 10$ 개 그려져 있다. 탄착점의 중심을 포함하는 원의 개수를 점수로 하되, 탄착점의 중심이 원의 경계를 맞힌 경우도 그 원에 포함된 것으로 한다. 표적지를 맞췄을 때, 얻게 될 점수의 확률은 표적지 전체 넓이 대비 해당 점수가 나오는 영역의 넓이의 비율로 한다. 과거 사격 기록에 의하면 철수는 표적지를 못 맞추는 비율이 $\displaystyle 19$ %였다. 철수가 $\displaystyle 3$ 발을 사격 했을 때, 총점이 $\displaystyle 29$ 점 이상일 확률을 각각 제시문을 이용하여 설명하고 구하시오. (단, 각각의 사격은 모두 독립이다.)

<15줄 이내>

동국대 2026학년도 모의 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026mo/jayeon_2

1단계 · 3발 사격의 점수를 순서대로 나열하여

\displaystyle (a,b,c)

와 같이 표현하면, 총점이 29점 이상인 경우는

\displaystyle (10,10,10)

\displaystyle (10,10,9)

\displaystyle (10,9,10)

\displaystyle (9,10,10)

로 표현할 수 있다. 이들은 서로 배반사건이기 때문에 제시문 가)에 의해 총점 29점 이상의 확률은 각각의 경우의 확률들의 합으로 구한다.

$\displaystyle 3$ 발의 총점이 $\displaystyle 29$ 점 이상인 경우는 사격 순서대로 점수를 나열하면 $\displaystyle (10,10,10)$ , $\displaystyle (10,10,9)$ , $\displaystyle (10,9,10)$ , $\displaystyle (9,10,10)$ 와 같이 $\displaystyle 4$ 가지 경우의 사건으로 표현할 수 있고 이들 사건은 서로 배반이다..

철수가 $\displaystyle 1$ 발의 사격에서 $\displaystyle 10$ 점과 $\displaystyle 9$ 점을 받는 사건을 정의하기 위해서 ‘철수가 표적지를 맞추는 사건’ $\displaystyle A$ , ‘ $\displaystyle 1$ 발의 사격에서 $\displaystyle 10$ 점을 받을 사건’ $\displaystyle B_{1}$ , ‘ $\displaystyle 1$ 발의 사격에서 $\displaystyle 9$ 점을 받을 사건’ $\displaystyle B_{2}$ 를 먼저 정의한다. 그리고 철수가 $\displaystyle 1$ 발의 사격에서 $\displaystyle 10$ 점과 $\displaystyle 9$ 점을 받는 사건은 각각 $\displaystyle A\cap B_{1}$ , $\displaystyle A\cap B_{2}$ 로 정리한다.

3단계 · 1발의 사격 점수가 10점일 확률은 철수가 표적지를 맞출 확률

\displaystyle p_0=1-0.19=0.81

에 표적지를 맞혔을 때 10점이 될 확률은 표적지 넓이 대비 가장 작은 동심원의 면적비와 같으므로

\displaystyle p_1=\frac{25^2\pi}{550^2}=\frac{\pi}{22^2}

이 된다. 따라서 제시문 나)에 의해 철수가 10점을 받을 확률은

\displaystyle 0.81p_1=\frac{0.81\pi}{22^2}

이다.

$\displaystyle 1$ 발의 사격에서 표적지를 맞췄을 때 $\displaystyle 10$ 점을 받을 확률은 $\displaystyle P(B_{1}\,|\,A)=p_{1}=\frac{25^{2}\pi}{550^{2}}=\frac{\pi}{22^{2}}$ 이 된다.따라서 제시문 나)에 의해 철수가 $\displaystyle 1$ 발 사격에서 $\displaystyle 10$ 점을 받을 확률은 $\displaystyle P(A\cap B_{1})=P(A)P(B_{1}\,|\,A)=0.81\times p_{1}$ 이 된다.

4단계 · 1발의 사격 점수가 9점일 확률은 철수가 표적지를 맞출 확률

\displaystyle p_0=1-0.19=0.81

에 표적지를 맞혔을 때 10점이 될 확률은 표적지 넓이 대비 가장 작은 동심원과 두 번째로 작은 동심원 사이의 면적비와 같으므로Correction. 여기서 ‘10점이 될 확률’은 ‘9점이 될 확률’을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

\displaystyle p_2=\frac{50^2\pi}{550^2}-\frac{25^2\pi}{550^2}=\frac{3\pi}{22^2}

이 된다. 따라서 제시문 나)에 의해 철수가 9점을 받을 확률은

\displaystyle 0.81p_2=\frac{2.43\pi}{22^2}

이다.

$\displaystyle 1$ 발의 사격에서 표적지를 맞췄을 때 $\displaystyle 9$ 점을 받을 확률은 $\displaystyle P(B_{2}\,|\,A)=p_{2}=\frac{50^{2}\pi-25^{2}\pi}{550^{2}}=\frac{3\pi}{22^{2}}$ 이 된다.따라서 제시문 나)에 의해 철수가 $\displaystyle 1$ 발 사격에서 $\displaystyle 9$ 점을 받을 확률은 $\displaystyle P(A\cap B_{2})=P(A)P(B_{2}\,|\,A)=0.81\times p_{2}$ 이 된다.

2단계 · 3발 각각의 사건은 독립이므로 각 사건은 독립이다. 제시문 다)에 의해 각 사격 점수의 확률들의 곱으로 3발 사격 결과의 확률을 구한다.

$\displaystyle 3$ 발의 사격은 각각 독립이므로 그 점수가 $\displaystyle (10,10,10)$ , $\displaystyle (10,10,9)$ , $\displaystyle (10,9,10)$ , $\displaystyle (9,10,10)$ 인 경우의 확률은 제시문 다)에 의해 각각 $\displaystyle (0.81p_{1})^{3}$ , $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$ , $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$ , $\displaystyle (0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})$ 이 된다.

5단계 · 1, 2 단계에서 제시한 방법으로 3, 4 단계에서 구한 확률을 이용하여 철수가 3발 총합이 29점 이상일 확률은 다음과 같이 구한다.

\displaystyle (0.81p_1)^3+3(0.81p_1)^2\times(0.81p_2)=0.81^3p_1^2(p_1+3p_2)=0.81^3\left(\frac{\pi}{22^2}\right)^2\left(\frac{10\pi}{22^2}\right)=10\pi^3\left(\frac9{220}\right)^6

그러므로 제시문 가)에 의해 $\displaystyle 3$ 발의 사격에서 철수가 $\displaystyle 29$ 점 이상 받을 확률은 이들의 합과 같다. $\displaystyle (0.81p_{1})^{3}+3(0.81p_{1})^{2}\times(0.81p_{2})=0.81^{3}p_{1}^{2}(p_{1}+3p_{2})=0.81^{3}\left(\frac{\pi}{22^{2}}\right)^{2}\left(\frac{10\pi}{22^{2}}\right)=10\pi^{3}\left(\frac{9}{220}\right)^{6}$

하위문항	채점 기준	배점
	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [5단계]까지 모두 작성하고 네 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
	[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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