동국대 2026학년도 모의 자연계열 3번 해설

문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 중심이 원점 $\displaystyle (0,0)$ 인 원의 방정식 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 를 매개변수 $\displaystyle t$ 로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle x=r\cos t, \quad y=r\sin t \ (0\le t<2\pi)$ – 『고등학교 미적분』

[나] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치 $\displaystyle (x,y)$ 가 두 함수 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 로 나타내어질 때, 시각 $\displaystyle t$ 에서 점 P의 속력은 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}$ 이다.– 『고등학교 미적분』

[다] 사인함수와 코사인함수의 덧셈 정리는 각각 다음과 같다. $\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ – 『고등학교 미적분』

[라] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.– 『고등학교 수학Ⅱ』

[문제3] 중심이 $\displaystyle (1,0)$ 이고 반지름이 $\displaystyle 1$ 인 원 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(1+\cos t, \ \sin t)$ 과 중심이 원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$ 이고 반지름이 $\displaystyle 2$ 인 원 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos\theta(t), \ 2\sin\theta(t))$ 가 있다. 두 원의 교점 $\displaystyle (2,0)$ 에서 두 원 위를 시계 반대 방향을 따라 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 의 속력의 비가 $\displaystyle 1:4$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle 0\le t<2\pi$ )

(1) $\displaystyle t=t_{0}$ 에서 두 점 사이의 거리가 최대일 때, $\displaystyle \cos t_{0}$ 와 거리를 구하시오.

(2) $\displaystyle t=t_{0}$ 에서 두 점의 위치를 모두 구하시오.

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Comment. 문제지는 속력으로, 선행학습 영향평가 자체평가 보고서는 속도로 표시되어 있는데, 속력이 맞다.

1단계 · 속력의 비

\displaystyle 1:4

에서

\displaystyle \left|\frac{d\theta}{dt}\right|=2

,

\displaystyle \theta(t)=2t

를 얻어

\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t,2\sin 2t)

를 구한다.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(1+\cos t,\sin t)(0\le t<2\pi)$ 의 속력은 $\displaystyle \sqrt{(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=1$ 이다. 속력의 비가 $\displaystyle 1:4$ 이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos\theta(t),2\sin\theta(t))$ 의 속력은 $\displaystyle 2\sqrt{(\sin^{2}\theta(t)+\cos^{2}\theta(t))\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}}=2\left|\frac{d\theta}{dt}\right|=4$ 가 되어야 한다. 즉 $\displaystyle \left|\frac{d\theta}{dt}\right|=2$ , $\displaystyle \theta(t)=2t$ 가 되며 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t,2\sin 2t)$ 가 된다.

2단계 · 거리의 제곱

\displaystyle f(t)=d^{2}

를 세우고 덧셈정리와

\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1

로

\displaystyle f(t)=10-2\cos t-8\cos^{2}t

를 얻는다.

두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$ 라 두면 $\displaystyle f(t)=d^{2}=(1+\cos t-2\cos 2t)^{2}+(\sin t-2\sin 2t)^{2}=6+2\cos t-4\cos 2t-4\cos 2t\cos t-4\sin 2t\sin t$ 이다.삼각함수의 합의 공식 $\displaystyle \cos(t-2t)=\cos(2t)\cos t+\sin 2t\sin t=\cos(-t)$ 을 이용하여 $\displaystyle f(t)=6-2\cos t-4\cos 2t$ 를 얻는다. $\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1$ 을 대입하면 $\displaystyle f(t)=10-2\cos t-8\cos^{2}t$ 가 된다.

3단계 ·

\displaystyle f(t)

를 미분해

\displaystyle \sin t=0

,

\displaystyle \cos t=-\frac{1}{8}

에서 극점을 갖고

\displaystyle f(t)=\frac{81}{8}

임을 구한다.

함수 $\displaystyle f(t)$ 를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=2\sin t+16\sin t\cos t$ 이며 $\displaystyle \sin t=0, \ \cos t=-\frac{1}{8}$ 일 때 극점을 갖는다. $\displaystyle \sin t=0$ 일 때 $\displaystyle \cos t=1$ 또는 $\displaystyle -1$ 이며 $\displaystyle f(t)=0$ , 또는 $\displaystyle 4$ 이며 $\displaystyle \cos t=-\frac{1}{8}$ 일 때, $\displaystyle f(t)=\frac{81}{8}$ 이 된다.

4단계 ·

\displaystyle \cos(t_{0})=-\frac{1}{8}

과 최대 거리를 구한다.

그러므로 $\displaystyle \cos(t_{0})=-\frac{1}{8}$ , 최대 거리는 $\displaystyle d=\frac{9\sqrt{2}}{4}$ 이다.

5단계 ·

\displaystyle \sin t

,

\displaystyle \sin 2t

,

\displaystyle \cos 2t

를 구해 두 점의 위치를 모두 나타낸다.

(2) $\displaystyle \sin t=\pm\sqrt{1-\cos^{2}t}=\pm\frac{\sqrt{63}}{8}$ , $\displaystyle \sin 2t=2\sin t\cos t=\mp\frac{\sqrt{63}}{32}$ , $\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1=-\frac{31}{32}$ 이다.그러므로, $\displaystyle t=t_{0}$ 일 때 점의 위치는 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},-\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},-\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$ 이다.

하위문항	채점 기준	배점
	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [5단계]까지 모두 작성하고 네 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
	[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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