자연계열 3번

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$은 중심 $\displaystyle \mathrm{C}(1,0)$, 반지름 $\displaystyle 1$인 원 위를 각 $\displaystyle t$로 도는 점이므로 속력은 $\displaystyle 1$이다.속력의 비가 $\displaystyle 1:4$이려면 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$의 속력이 $\displaystyle 4$여야 하는데, 반지름이 $\displaystyle 2$이므로$\displaystyle 2\left|\frac{d\theta}{dt}\right|=4 \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{d\theta}{dt}\right|=2$이다.두 점 모두 교점 $\displaystyle (2,0)$에서 시계 반대 방향으로 출발하므로 $\displaystyle \theta(t)=2t$이고, $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t,\,2\sin 2t)$이다.

두 점을 원점에서 출발하는 벡터로 보면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}=(1,0)+(\cos t,\,\sin t)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}=2(\cos 2t,\,\sin 2t)$이므로$\displaystyle d^{2}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\right|^{2}-2\,\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}\right|^{2}$이다.각 항을 구하면 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\right|^{2}=2+2\cos t$, $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}\right|^{2}=4$이고,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}=2\cos 2t+2\left(\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t\right)=2\cos 2t+2\cos t$이다.마지막 괄호가 제시문【다】에 의해 $\displaystyle \cos(2t-t)=\cos t$로 접힌다.

따라서 $\displaystyle d^{2}=(2+2\cos t)-2(2\cos 2t+2\cos t)+4=6-2\cos t-4\cos 2t$이고,$\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1$을 대입하면$\displaystyle d^{2}=10-2\cos t-8\cos^{2}t$이다.

$\displaystyle c=\cos t \ (-1\le c\le 1)$로 두면 $\displaystyle d^{2}=-8c^{2}-2c+10$이다.위로 볼록한 이차식이므로 꼭짓점 $\displaystyle c=-\frac{1}{8}$에서 최대이고,이 값은 $\displaystyle -1\le c\le 1$에 들어 있다.그러므로$\displaystyle \cos t_{0}=-\frac{1}{8}, \qquad d^{2}=\frac{81}{8}, \qquad d=\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$이다.

(2) $\displaystyle \cos t_{0}=-\frac{1}{8}$에서 $\displaystyle \sin t_{0}=\pm\sqrt{1-\cos^{2}t_{0}}=\pm\frac{\sqrt{63}}{8}$이고,$\displaystyle \cos 2t_{0}=2\cos^{2}t_{0}-1=-\frac{31}{32}, \qquad \sin 2t_{0}=2\sin t_{0}\cos t_{0}=\mp\frac{\sqrt{63}}{32}$이다. $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(1+\cos t_{0},\,\sin t_{0})$, $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t_{0},\,2\sin 2t_{0})$에 대입하면$\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},\,\frac{\sqrt{63}}{8}\right), \ \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},\,-\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},\,-\frac{\sqrt{63}}{8}\right), \ \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},\,\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$이다.