자연계열 3번

동국대 2026학년도 모의 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026mo/jayeon_3

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 중심이 원점 $\displaystyle (0,0)$ 인 원의 방정식 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 를 매개변수 $\displaystyle t$ 로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle x=r\cos t, \quad y=r\sin t \ (0\le t<2\pi)$ – 『고등학교 미적분』

[나] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치 $\displaystyle (x,y)$ 가 두 함수 $\displaystyle x=f(t)$ , $\displaystyle y=g(t)$ 로 나타내어질 때, 시각 $\displaystyle t$ 에서 점 P의 속력은 $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}$ 이다.– 『고등학교 미적분』

[다] 사인함수와 코사인함수의 덧셈 정리는 각각 다음과 같다. $\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ – 『고등학교 미적분』

[라] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.– 『고등학교 수학Ⅱ』

[문제3] 중심이 $\displaystyle (1,0)$ 이고 반지름이 $\displaystyle 1$ 인 원 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(1+\cos t, \ \sin t)$ 과 중심이 원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$ 이고 반지름이 $\displaystyle 2$ 인 원 위를 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos\theta(t), \ 2\sin\theta(t))$ 가 있다. 두 원의 교점 $\displaystyle (2,0)$ 에서 두 원 위를 시계 반대 방향을 따라 움직이는 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 의 속력의 비가 $\displaystyle 1:4$ 라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle 0\le t<2\pi$ )Correction. 『동국대학교 2025년도 모의논술 모의논술고사 문제지(자연계열)』에 따라 두 점의 “속력의 비”로 실었다. 『2025년도 동국대학교 모의논술 모의논술고사 문제 문항카드(자연계열)』에는 “속도의 비”로 잘못 적혀 있다.Caution. 속도와 속력을 구별해야 한다: 이 문제에서 $\displaystyle 1:4$ 는 두 점의 속력, 즉 속도벡터의 크기의 비이다. 두 점의 운동 방향은 각 원의 접선 방향이므로 두 속도벡터가 항상 같은 방향인 것은 아니다. 따라서 속력의 비를 $\displaystyle \vec{v}_2=4\vec{v}_1$ 이라는 벡터 관계로 해석해서는 안 된다. 점 $\displaystyle P_1$ 의 속력은 $\displaystyle 1$ 이고 점 $\displaystyle P_2$ 의 속력은 $\displaystyle 2|\theta^{\prime}(t)|$ 이므로, 주어진 조건은 $\displaystyle 2|\theta^{\prime}(t)|=4$ 이다. 원칙에 따라 문제지의 원문 표기를 그대로 실었다.

(1) $\displaystyle t=t_{0}$ 에서 두 점 사이의 거리가 최대일 때, $\displaystyle \cos t_{0}$ 와 거리를 구하시오.

(2) $\displaystyle t=t_{0}$ 에서 두 점의 위치를 모두 구하시오.

<27줄 이내>

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1단계 · 속력의 비

\displaystyle 1:4

에서

\displaystyle \left|\frac{d\theta}{dt}\right|=2

\displaystyle \theta(t)=2t

를 얻어

\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t,2\sin 2t)

를 구한다.

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$ 은 중심 $\displaystyle \mathrm{C}(1,0)$ , 반지름 $\displaystyle 1$ 인 원 위를 각 $\displaystyle t$ 로 도는 점이므로 속력은 $\displaystyle 1$ 이다.속력의 비가 $\displaystyle 1:4$ 이려면 점 $\displaystyle \mathrm{P}_{2}$ 의 속력이 $\displaystyle 4$ 여야 하는데, 반지름이 $\displaystyle 2$ 이므로 $\displaystyle 2\left|\frac{d\theta}{dt}\right|=4 \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{d\theta}{dt}\right|=2$ 이다.두 점 모두 교점 $\displaystyle (2,0)$ 에서 시계 반대 방향으로 출발하므로 $\displaystyle \theta(t)=2t$ 이고, $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t,\,2\sin 2t)$ 이다.

Advice. 거리의 최대·최소는 거리 자체가 아니라 거리의 제곱을 다룬다.근호가 사라지고, 제곱은 증가함수라 최대가 되는 자리가 바뀌지 않는다.

2단계 · 거리의 제곱을 세우고 덧셈정리로 정리한다.

두 점을 원점에서 출발하는 벡터로 보면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}=(1,0)+(\cos t,\,\sin t)$ , $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}=2(\cos 2t,\,\sin 2t)$ 이므로 $\displaystyle d^{2}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\right|^{2}-2\,\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}+\left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}\right|^{2}$ 이다.각 항을 구하면 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\right|^{2}=2+2\cos t$ , $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}\right|^{2}=4$ 이고, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP_{1}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP_{2}}}=2\cos 2t+2\left(\cos t\cos 2t+\sin t\sin 2t\right)=2\cos 2t+2\cos t$ 이다.마지막 괄호가 제시문【다】에 의해 $\displaystyle \cos(2t-t)=\cos t$ 로 접힌다.

3단계 ·

\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1

을 대입해

\displaystyle d^{2}=10-2\cos t-8\cos^{2}t

를 얻는다.

따라서 $\displaystyle d^{2}=(2+2\cos t)-2(2\cos 2t+2\cos t)+4=6-2\cos t-4\cos 2t$ 이고, $\displaystyle \cos 2t=2\cos^{2}t-1$ 을 대입하면 $\displaystyle d^{2}=10-2\cos t-8\cos^{2}t$ 이다.

Tip. $\displaystyle \cos t$ 가 한 종류만 남았다.이럴 때는 $\displaystyle c=\cos t$ 로 놓아 $\displaystyle c$ 에 대한 이차식으로 바꾼다 — 미분하지 않고 꼭짓점만 보면 된다.

4단계 · 최댓값을 주는

\displaystyle \cos t_{0}=-\frac{1}{8}

과 최대 거리를 구한다.

$\displaystyle c=\cos t \ (-1\le c\le 1)$ 로 두면 $\displaystyle d^{2}=-8c^{2}-2c+10$ 이다.위로 볼록한 이차식이므로 꼭짓점 $\displaystyle c=-\frac{1}{8}$ 에서 최대이고,이 값은 $\displaystyle -1\le c\le 1$ 에 들어 있다.그러므로 $\displaystyle \cos t_{0}=-\frac{1}{8}, \qquad d^{2}=\frac{81}{8}, \qquad d=\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$ 이다.

5단계 ·

\displaystyle \sin t_{0}

\displaystyle \sin 2t_{0}

\displaystyle \cos 2t_{0}

를 구해 두 점의 위치를 모두 나타낸다.

(2) $\displaystyle \cos t_{0}=-\frac{1}{8}$ 에서 $\displaystyle \sin t_{0}=\pm\sqrt{1-\cos^{2}t_{0}}=\pm\frac{\sqrt{63}}{8}$ 이고, $\displaystyle \cos 2t_{0}=2\cos^{2}t_{0}-1=-\frac{31}{32}, \qquad \sin 2t_{0}=2\sin t_{0}\cos t_{0}=\mp\frac{\sqrt{63}}{32}$ 이다. $\displaystyle \mathrm{P}_{1}(1+\cos t_{0},\,\sin t_{0})$ , $\displaystyle \mathrm{P}_{2}(2\cos 2t_{0},\,2\sin 2t_{0})$ 에 대입하면 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},\,\frac{\sqrt{63}}{8}\right), \ \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},\,-\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}\left(\frac{7}{8},\,-\frac{\sqrt{63}}{8}\right), \ \mathrm{P}_{2}\left(-\frac{31}{16},\,\frac{\sqrt{63}}{16}\right)$ 이다.

하위문항	채점 기준	배점
	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 논증이 매끄럽게 작성한 경우	S
	[1단계]부터 [5단계]까지 모두 작성하고 네 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	A
	[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 세 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	B
	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 두 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	C
	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성하고 한 단계 이상 논증이 매끄러운 경우	D
	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
	어느 단계의 일부분도 논증이 매끄럽게 진술하지 못한 경우, 백지인 경우	F

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