자연계열 1번

(1) 선분 BC의 중점을 M이라고 하면 선분 MA과 선분 BC가 수직이고, 선분 MF도 선분 BC에 수직이다. 따라서 평면 ABC와 평면 FBC가 이루는 이면각 중 하나는 $\displaystyle \angle\mathrm{AMF}$와 같다. 한편, 점 A의 평면 BCDE에 내린 수선의 발 N은 정사각형 BCDE의 대각선의 교점이다. 삼각형 ANM은 직각삼각형이고 선분의 MA의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$, 선분 MN의 길이는 $\displaystyle \frac12$이다. 따라서 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{AMN})=\frac1{\sqrt3}$이다. 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{AMF})=\cos(2\angle\mathrm{AMN})=2\cos^2(\angle\mathrm{AMN})-1=-\frac13$이고, $\displaystyle \angle\mathrm{AMF}$는 둔각이므로 $\displaystyle \cos\alpha=-\frac13$이다.

(2) 선분 ED의 중점을 Q라고 하자. 사각형 MAQF는 네 변의 길이가 같은 사각형으로 선분 MA와 선분 QF, 선분 QA와 선분 FM은 각각 평행이다. 선분 BC와 선분 ED도 평행인 선분이다. 점 A를 지나고 이 선분들과 평행인 직선을 $\displaystyle l$이라 하면 직선 $\displaystyle l$은 평면 ABC와 평면 AED의 교선이다. 교선 $\displaystyle l$과 선분 AM이 이루는 각은 선분 ED와 선분 QF가 이루는 각과 같으므로 수직이다. 마찬가지로 교선 $\displaystyle l$과 선분 AQ가 이루는 각도 수직이다. 따라서 두 평면의 이면각 중 하나는 $\displaystyle \angle\mathrm{MAQ}$이다. $\displaystyle |\mathrm{MA}|=|\mathrm{AQ}|=\frac{\sqrt3}2,|\mathrm{MQ}|=1$이므로, 삼각형 MAQ에서 코사인법칙을 이용하면 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{MAQ})=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\frac{\sqrt3}2\frac{\sqrt3}2}=\frac13$이다. $\displaystyle \angle\mathrm{MAQ}$는 예각이므로 $\displaystyle \cos\beta=\frac13$이다.

(3) 선분 GH의 중점을 O, 삼각형 IGH의 무게중심을 P라고 하자. 선분 OJ, 선분 OI는 각각 선분 GH에 수직이므로 평면 JGH와 평면 IGH의 이면각 중 하나는 $\displaystyle \angle\mathrm{JOI}$, 즉 $\displaystyle \angle\mathrm{JOP}$이다. 점 J의 삼각형 IGH에 내린 수선의 발이 점 P이므로$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{JOP})=\frac{|\mathrm{PO}|}{|\mathrm{JO}|}=\frac{\frac13\frac{\sqrt3}2}{\frac{\sqrt3}2}=\frac13$이다. 여기서, 무게중심의 성질에 의해 $\displaystyle |\mathrm{PO}|=\frac13|\mathrm{IO}|$임을 사용하였다. $\displaystyle \angle\mathrm{JOP}$는 예각이므로 $\displaystyle \cos\gamma=\frac13$이다.

(4) 점 G와 점 B, 점 H와 점 C, 점 I와 점 F를 일치시키면, 선분 GH의 중점 O와 선분 BC의 중점 M도 일치한다. 평면 JGH와 평면 ABC의 이면각의 크기는 평면 JGH와 평면 IGH의 이면각 중 예각의 크기 $\displaystyle \gamma$와 평면 FBC와 평면 ABC의 이면각 중 둔각의 크기 $\displaystyle \alpha$의 합 $\displaystyle \alpha+\gamma$와 같다. $\displaystyle \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha=\frac13=\cos\gamma$이고 $\displaystyle 0<\pi-\alpha,\gamma<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \alpha+\gamma=\pi$이다. 따라서 평면 ABC와 평면 JGH는 일치한다.