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자연계열 2번

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동국대 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026su/jayeon_2

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※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 첫째항이 a\displaystyle a, 공차가 d\displaystyle d인 등차수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 첫째항부터 제n\displaystyle n항까지의 합을 Sn\displaystyle S_n이라고 하면an=a+(n−1)d,\displaystyle a_n=a+(n-1)d,Sn=n{2a+(n−1)d}2(단, n=1,2,3,⋯)\displaystyle S_n=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}2\quad\text{(단, }n=1,2,3,\cdots\text{)}-『고등학교 수학I』

[나] 두 수열 {an}, {bn}\displaystyle \{a_n\},\ \{b_n\}에 대하여① ∑k=1n(ak+bk)=∑k=1nak+∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k② ∑k=1n(ak−bk)=∑k=1nak−∑k=1nbk\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^nb_k③ ∑k=1ncak=c∑k=1nak\displaystyle \sum_{k=1}^nca_k=c\sum_{k=1}^na_k (단, c\displaystyle c는 상수)④ ∑k=1nc=cn\displaystyle \sum_{k=1}^nc=cn (단, c\displaystyle c는 상수)-『고등학교 수학I』

[다] 두 수열 {an}, {bn}\displaystyle \{a_n\},\ \{b_n\}이 lim⁡n→∞an=L, lim⁡n→∞bn=M\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=L,\ \lim_{n\to\infty}b_n=M (L,M\displaystyle L,M은 실수)일 때① lim⁡n→∞can=cL\displaystyle \lim_{n\to\infty}ca_n=cL (단, c\displaystyle c는 상수)② lim⁡n→∞(an+bn)=L+M\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=L+M③ lim⁡n→∞(an−bn)=L−M\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=L-M④ lim⁡n→∞anbn=LM\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=LM⑤ lim⁡n→∞anbn=LM\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac LM (단, bn≠0, M≠0\displaystyle b_n\ne0,\ M\ne0)-『고등학교 미적분』

[문제2] 공차가 자연수인 두 등차수열 {an}, {bn}\displaystyle \{a_n\},\ \{b_n\}이 다음 <조건>을 만족한다.

<조건>① lim⁡n→∞an−bnn=2,∑n=110(an−bn)=180\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{n}=2,\quad\sum_{n=1}^{10}(a_n-b_n)=180② ∑k=1n(ak+bk)\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)는 n=7\displaystyle n=7일 때만 최솟값을 갖는다.③ ∑n=14∣bn∣=88\displaystyle \sum_{n=1}^4|b_n|=88

(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 일반항을 각각 구하시오.

(2) 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 cn=∣an∣−∣bn∣\displaystyle c_n=|a_n|-|b_n|일 때, cn\displaystyle c_n의 최솟값을 구하시오.

(3) Sn=∑k=1nck\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^nc_k일 때, lim⁡n→∞Snn2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}를 구하시오.

해설강의 준비중

동국대 2026학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongguk/2026su/jayeon_2

1단계 · 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 자연수 공차를 각각 p\displaystyle p와 q\displaystyle q라 하면, 조건 ①로부터2=lim⁡n→∞an−bnn=p−q,180=∑n=110(an−bn)=10(a1−b1)+45(p−q)\displaystyle 2=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{n}=p-q,\quad180=\sum_{n=1}^{10}(a_n-b_n)=10(a_1-b_1)+45(p-q)이다. 이로부터 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여an=a1+(n−1)p=b1+9+(n−1)(q+2)=bn+2n+7\displaystyle a_n=a_1+(n-1)p=b_1+9+(n-1)(q+2)=b_n+2n+7를 만족한다.

(1) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}과 {bn}\displaystyle \{b_n\}의 공차를 각각 p\displaystyle p와 q\displaystyle q라 하면, 조건 ①로부터2=lim⁡n→∞an−bnn=p−q,180=∑n=110(an−bn)=10(a1−b1)+45(p−q)\displaystyle 2=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{n}=p-q,\quad180=\sum_{n=1}^{10}(a_n-b_n)=10(a_1-b_1)+45(p-q)이다. 따라서 a1−b1=9, p−q=2\displaystyle a_1-b_1=9,\ p-q=2이다. 이로부터 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여an=a1+(n−1)p=b1+9+(n−1)(q+2)=bn+2n+7>bn\displaystyle a_n=a_1+(n-1)p=b_1+9+(n-1)(q+2)=b_n+2n+7>b_n이며 an>bn\displaystyle a_n>b_n을 만족한다.

2단계 · 따라서 2bn+2n+7=an+bn<0 (n≤7)\displaystyle 2b_n+2n+7=a_n+b_n<0\ (n\le7)이며 bn<0 (n≤7)\displaystyle b_n<0\ (n\le7)이다.

조건 ②로부터 an+bn<0 (n≤7)\displaystyle a_n+b_n<0\ (n\le7)과 an+bn>0 (n≥8)\displaystyle a_n+b_n>0\ (n\ge8)을 얻는다. 그러므로 2bn<an+bn<0 (n≤7)\displaystyle 2b_n<a_n+b_n<0\ (n\le7)이며 bn<0 (n≤7)\displaystyle b_n<0\ (n\le7)이다.이를 이용하여 조건 ③으로부터 ∑n=14∣bn∣=−∑n=14bn=−(4b1+6q)=88\displaystyle \sum_{n=1}^4|b_n|=-\sum_{n=1}^4b_n=-(4b_1+6q)=88, 즉 2b1=−3q−44\displaystyle 2b_1=-3q-44 또는 b1=−32q−22\displaystyle b_1=-\frac32q-22를 얻는다.

3단계

구해진 결과 a1=b1+9, p=q+2, a7+b7<0, a8+b8>0\displaystyle a_1=b_1+9,\ p=q+2,\ a_7+b_7<0,\ a_8+b_8>0을 이용하여 다음을 얻을 수 있다.0>a7+b7=(a1+b1)+6(p+q)=2b1+9+6(2q+2)=−3q−35+12q+12=9q−230<a8+b8=(a1+b1)+7(p+q)=2b1+9+7(2q+2)=−3q−35+14q+14=11q−21\displaystyle \begin{aligned}0>a_7+b_7&=(a_1+b_1)+6(p+q)=2b_1+9+6(2q+2)=-3q-35+12q+12=9q-23\\0<a_8+b_8&=(a_1+b_1)+7(p+q)=2b_1+9+7(2q+2)=-3q-35+14q+14=11q-21\end{aligned}따라서 1<2111<q<239<3\displaystyle 1<\frac{21}{11}<q<\frac{23}9<3을 만족하는 자연수 공차 q\displaystyle q는 2이다. 공차 q=2\displaystyle q=2를 다음 결과에 대입하면{p=q+2,b1=−32q−22,a1=b1+9,\displaystyle \begin{cases}p=q+2,\\b_1=-\frac32q-22,\\a_1=b_1+9,\end{cases}공차 p=4\displaystyle p=4, 첫째항 b1=−25, a1=−16\displaystyle b_1=-25,\ a_1=-16이다.그러므로 일반항 an=a1+(n−1)p=4n−20, bn=b1+(n−1)q=2n−27\displaystyle a_n=a_1+(n-1)p=4n-20,\ b_n=b_1+(n-1)q=2n-27이다.

4단계

(2) (1)의 결과를 이용하면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}의 일반항을 다음과 같이 구할 수 있다.cn=∣an∣−∣bn∣=∣4n−20∣−∣2n−27∣={−2n−7,(n≤5)6n−47,(6≤n≤13)2n+7,(n≥14)\displaystyle c_n=|a_n|-|b_n|=|4n-20|-|2n-27|=\begin{cases}-2n-7,&(n\le5)\\6n-47,&(6\le n\le13)\\2n+7,&(n\ge14)\end{cases}그러므로 cn\displaystyle c_n이 최소가 되는 항은 n=5\displaystyle n=5이며 최솟값은 c5=−17\displaystyle c_5=-17이다.

5단계

(3) (2)의 결과로부터 n≥14\displaystyle n\ge14에 대하여 Sn\displaystyle S_n은 다음을 만족한다.Sn=∑k=1nck=∑k=113ck+∑k=14nck=∑k=113ck+∑k=14n(2k+7)=∑k=113ck+2n(n+1)2+7n−∑k=113(2k+7)\displaystyle \begin{aligned}S_n=\sum_{k=1}^nc_k&=\sum_{k=1}^{13}c_k+\sum_{k=14}^nc_k\\&=\sum_{k=1}^{13}c_k+\sum_{k=14}^n(2k+7)\\&=\sum_{k=1}^{13}c_k+2\frac{n(n+1)}2+7n-\sum_{k=1}^{13}(2k+7)\end{aligned}그러므로 lim⁡n→∞Snn2=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=1이다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계의 풀이 과정이 논리적이고 모든 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우S
상[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 작성하고 모든 소문항의 답을 얻은 경우A
중[1단계]부터 [5단계] 중 네 단계를 작성하고 3개의 소문항의 답을 얻은 경우B
중[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 2개의 소문항의 답을 얻은 경우C
중[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 1개의 소문항의 답을 얻은 경우D
하[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우E
하어느 단계의 일부분도 풀이 과정이 논리적이지 않거나 전혀 작성하지 않은 경우F

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