자연계열 2번

(1) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{b_n\}$의 공차를 각각 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$라 하면, 조건 ①로부터$\displaystyle 2=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-b_n}{n}=p-q,\quad180=\sum_{n=1}^{10}(a_n-b_n)=10(a_1-b_1)+45(p-q)$이다. 따라서 $\displaystyle a_1-b_1=9,\ p-q=2$이다. 이로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_n=a_1+(n-1)p=b_1+9+(n-1)(q+2)=b_n+2n+7>b_n$이며 $\displaystyle a_n>b_n$을 만족한다.

조건 ②로부터 $\displaystyle a_n+b_n<0\ (n\le7)$과 $\displaystyle a_n+b_n>0\ (n\ge8)$을 얻는다. 그러므로 $\displaystyle 2b_n<a_n+b_n<0\ (n\le7)$이며 $\displaystyle b_n<0\ (n\le7)$이다.이를 이용하여 조건 ③으로부터 $\displaystyle \sum_{n=1}^4|b_n|=-\sum_{n=1}^4b_n=-(4b_1+6q)=88$, 즉 $\displaystyle 2b_1=-3q-44$ 또는 $\displaystyle b_1=-\frac32q-22$를 얻는다.

구해진 결과 $\displaystyle a_1=b_1+9,\ p=q+2,\ a_7+b_7<0,\ a_8+b_8>0$을 이용하여 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}0>a_7+b_7&=(a_1+b_1)+6(p+q)=2b_1+9+6(2q+2)=-3q-35+12q+12=9q-23\\0<a_8+b_8&=(a_1+b_1)+7(p+q)=2b_1+9+7(2q+2)=-3q-35+14q+14=11q-21\end{aligned}$따라서 $\displaystyle 1<\frac{21}{11}<q<\frac{23}9<3$을 만족하는 자연수 공차 $\displaystyle q$는 2이다. 공차 $\displaystyle q=2$를 다음 결과에 대입하면$\displaystyle \begin{cases}p=q+2,\\b_1=-\frac32q-22,\\a_1=b_1+9,\end{cases}$공차 $\displaystyle p=4$, 첫째항 $\displaystyle b_1=-25,\ a_1=-16$이다.그러므로 일반항 $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)p=4n-20,\ b_n=b_1+(n-1)q=2n-27$이다.

(2) (1)의 결과를 이용하면 수열 $\displaystyle \{c_n\}$의 일반항을 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle c_n=|a_n|-|b_n|=|4n-20|-|2n-27|=\begin{cases}-2n-7,&(n\le5)\\6n-47,&(6\le n\le13)\\2n+7,&(n\ge14)\end{cases}$그러므로 $\displaystyle c_n$이 최소가 되는 항은 $\displaystyle n=5$이며 최솟값은 $\displaystyle c_5=-17$이다.

(3) (2)의 결과로부터 $\displaystyle n\ge14$에 대하여 $\displaystyle S_n$은 다음을 만족한다.$\displaystyle \begin{aligned}S_n=\sum_{k=1}^nc_k&=\sum_{k=1}^{13}c_k+\sum_{k=14}^nc_k\\&=\sum_{k=1}^{13}c_k+\sum_{k=14}^n(2k+7)\\&=\sum_{k=1}^{13}c_k+2\frac{n(n+1)}2+7n-\sum_{k=1}^{13}(2k+7)\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n^2}=1$이다.