자연계열 3번

(1) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 먼저 곡선 $\displaystyle y=f(x)$를 적당히 $\displaystyle x$축으로 평행이동하면 2차항을 소거할 수 있고 그후 적당히 $\displaystyle y$축으로 평행이동하면 상수항을 소거할 수 있다. 따라서 $\displaystyle y=g(x)$에서 삼차함수 $\displaystyle g(x)$의 항의 개수가 최소가 되도록 평행이동하면 $\displaystyle g(x)=ax^3+bx\ (a>0)$ 형태로 변형할 수 있다.

(1)′ 위와 다른 풀이로, 먼저 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 주어진 조건을 만족해야 하기 때문에 변곡점에서의 접선의 기울기는 음수가 되어야 한다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 변곡점을 원점으로 평행이동시키면 적당한 양수 $\displaystyle \alpha$가 존재하여 $\displaystyle x=-\alpha,0,\alpha$에서 각각 $\displaystyle x$축과 만나므로 $\displaystyle g(x)=ax(x-\alpha)(x+\alpha)=ax^3-a\alpha^2x=ax^3+bx\ (a>0)$ 형태로 변형할 수 있다. (단, $\displaystyle b=-a\alpha^2$)

(2) 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P_0(t,at^3+bt)$에서의 접선의 방정식을 구하면$\displaystyle y-at^3-bt=(3at^2+b)(x-t)\ \Leftrightarrow\ y=(3at^2+b)x-2at^3$이다.

(3) (2)에서 구한 접선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$가 만나는 점 $\displaystyle \mathrm Q_0$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle \begin{aligned}ax^3+bx=(3at^2+b)x-2at^3&\ \Leftrightarrow\ ax^3-3at^2x+2at^3=0\\&\ \Leftrightarrow\ (x-t)^2(x+2t)=0\\&\ \Leftrightarrow\ x=t,\ -2t\end{aligned}$를 만족하고, 여기서 $\displaystyle \mathrm Q_0\ne\mathrm P_0$이므로 $\displaystyle t\ne0$이며 $\displaystyle \mathrm Q_0$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm Q_0(-2t,-8at^3-2bt)$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm Q_0$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y+8at^3+2bt=(12at^2+b)(x+2t)\ \Leftrightarrow\ y=(12at^2+b)x+16at^3$이다.

(4) (2)와 (3)에서 구한 두 접선이 수직이므로$\displaystyle \begin{aligned}(3at^2+b)(12at^2+b)=-1&\ \Leftrightarrow\ 36a^2t^4+15abt^2+b^2+1=0\\&\ \Leftrightarrow\ t^2=\frac{-5b\pm\sqrt{9b^2-16}}{24a}\end{aligned}$을 만족하는 0이 아닌 실수 $\displaystyle t$가 존재해야 한다. 즉,$\displaystyle \begin{aligned}&9b^2-16\ge0\ \text{그리고 }(-5b+\sqrt{9b^2-16}>0\ \text{또는 }-5b-\sqrt{9b^2-16}>0)\\&\ \Leftrightarrow\ 9b^2-16\ge0\ \text{그리고 }b<0\\&\ \Leftrightarrow\ b\le-\frac43\end{aligned}$을 얻는다. 한편 구하고자 하는 최댓값 $\displaystyle M$은 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 변곡점에서 접선의 기울기의 최댓값이다. 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 변곡점을 먼저 구해보면$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=6ax=0\ \Leftrightarrow\ x=0$으로부터 원점이 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 변곡점임을 알 수 있다. 이제 원점에서 접선의 기울기는 $\displaystyle g^{\prime}(0)=b\le-\frac43$이므로 최댓값 $\displaystyle M$은 $\displaystyle -\frac43$이다.