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자연계열 1번

배점30점
예상 소요 시간25분
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문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a의 좌우에서① f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대이다.② f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이다.– 『고등학교 수학Ⅱ』

[나] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치가 x=x(t), y=y(t)\displaystyle x=x(t), \ y=y(t)일 때, 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 속도는 (x′(t),y′(t))\displaystyle (x^{\prime}(t), y^{\prime}(t))이고 가속도는 (x′′(t),y′′(t))\displaystyle (x^{\prime\prime}(t), y^{\prime\prime}(t))이다. 또한, x′(t)2+y′(t)2\displaystyle \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}을 속도의 크기 또는 속력이라고 한다.– 『고등학교 미적분』

[다] 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리는 다음과 같다.sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta– 『고등학교 미적분』

좌표평면 위를 움직이는 점 P가 시각 t=0\displaystyle t=0일 때 위치는 원점이며 속력은 v\displaystyle v이고 속도가 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각이 θ(0<θ≤π2)\displaystyle \theta\left(0<\theta\le\frac{\pi}{2}\right)이다. 점 P의 가속도가 항상 (a,−a)\displaystyle (a,-a)일 때, 점 P의 자취가 이루는 곡선이 x\displaystyle x축과 만나는 점(원점 제외)의 x\displaystyle x좌표가 최대가 되도록 하는 θ\displaystyle \theta의 값을 구하시오. (단, v\displaystyle v와 a\displaystyle a는 양의 상수)

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1단계 · 주어진 조건으로부터 x(t)=12at2+vtcos⁡θ, y(t)=−12at2+vtsin⁡θ\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt\cos\theta, \ y(t)=-\frac{1}{2}at^2+vt\sin\theta를 구한다.

점 P의 좌표 (x(t),y(t))\displaystyle (x(t), y(t))를 주어진 조건 x′′(t)=a, x′(0)=vcos⁡θ, x(0)=0, y′′(t)=−a, y′(0)=vsin⁡θ, y(0)=0\displaystyle x^{\prime\prime}(t)=a, \ x^{\prime}(0)=v\cos\theta, \ x(0)=0, \ y^{\prime\prime}(t)=-a, \ y^{\prime}(0)=v\sin\theta, \ y(0)=0으로부터 다음을 구한다.x′(t)=at+vcos⁡θ,x(t)=12at2+vtcos⁡θ,\displaystyle x^{\prime}(t)=at+v\cos\theta, \qquad x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt\cos\theta,y′(t)=−at+vsin⁡θ,y(t)=−12at2+vtsin⁡θ\displaystyle y^{\prime}(t)=-at+v\sin\theta, \qquad y(t)=-\frac{1}{2}at^2+vt\sin\theta

2단계 · y(t)=0\displaystyle y(t)=0이 되는 시각 t=2avsin⁡θ\displaystyle t=\frac{2}{a}v\sin\theta와 그때의 x\displaystyle x좌표 2av2(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle \frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)를 구한다.

위에서 y(t)=0⇔t=0, 2avsin⁡θ\displaystyle y(t)=0 \Leftrightarrow t=0, \ \frac{2}{a}v\sin\theta이므로x(2avsin⁡θ)=2av2(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle x\left(\frac{2}{a}v\sin\theta\right)=\frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)가 최대가 되도록 하는 θ\displaystyle \theta를 구하면 된다.

3단계 · f(θ)=sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ\displaystyle f(\theta)=\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta로 두고 미분 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 θ=38π\displaystyle \theta=\frac{3}{8}\pi에서 최댓값을 가짐을 확인한다.

f(θ)=sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ (0<θ≤π/2)\displaystyle f(\theta)=\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta \ (0<\theta\le\pi/2)로 두면f′(θ)=2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ−sin⁡2θ=sin⁡2θ+cos⁡2θ\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta=\sin 2\theta+\cos 2\theta가 0이 될 필요충분조건은 tan⁡2θ=−1 (0<θ≤π/2)⇔θ=38π\displaystyle \tan 2\theta=-1 \ (0<\theta\le\pi/2) \Leftrightarrow \theta=\frac{3}{8}\pi이고f′′(38π)<0\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac{3}{8}\pi\right)<0이므로 θ=38π\displaystyle \theta=\frac{3}{8}\pi에서 최댓값을 갖는다.

채점 기준배점
상[1단계]부터 [3단계]까지 모든 단계의 풀이 과정이 매끄럽고 답을 정확하게 얻은 경우S
상[1단계], [2단계]를 풀고 [3단계]에서 미분 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용하였으나 최대가 되는 θ\displaystyle \theta를 38π\displaystyle \frac{3}{8}\pi로 못 구한 경우A
중[1단계], [2단계]를 풀고 [3단계]에서 미분만 구하고 삼각함수의 덧셈정리를 이용하지 못하여 최대가 되는 θ\displaystyle \theta를 못 구한 경우B
중[1단계]를 풀고 [2단계]에서 x\displaystyle x좌표를 2av2(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle \frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)로 올바르게 구한 경우C
중[1단계]를 풀고 [2단계]에서 y(t)=0\displaystyle y(t)=0이 되는 시각 t\displaystyle t를 구한 경우D
하[1단계]에서 x(t),y(t)\displaystyle x(t), y(t) 둘 중 어느 하나만 구한 경우E
하어느 단계의 일부분도 풀이 과정이 매끄럽게 작성하지 못하거나 전혀 작성하지 않은 경우F

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