자연계열 1번

점 P의 좌표 $\displaystyle (x(t), y(t))$를 주어진 조건 $\displaystyle x^{\prime\prime}(t)=a, \ x^{\prime}(0)=v\cos\theta, \ x(0)=0, \ y^{\prime\prime}(t)=-a, \ y^{\prime}(0)=v\sin\theta, \ y(0)=0$으로부터 다음을 구한다.$\displaystyle x^{\prime}(t)=at+v\cos\theta, \qquad x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt\cos\theta,$$\displaystyle y^{\prime}(t)=-at+v\sin\theta, \qquad y(t)=-\frac{1}{2}at^2+vt\sin\theta$

위에서 $\displaystyle y(t)=0 \Leftrightarrow t=0, \ \frac{2}{a}v\sin\theta$이므로 $\displaystyle x\left(\frac{2}{a}v\sin\theta\right)=\frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)$가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle \theta$를 구하면 된다.

$\displaystyle f(\theta)=\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta \ (0<\theta\le\pi/2)$로 두면$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta=\sin 2\theta+\cos 2\theta$가 0이 될 필요충분조건은 $\displaystyle \tan 2\theta=-1 \ (0<\theta\le\pi/2) \Leftrightarrow \theta=\frac{3}{8}\pi$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac{3}{8}\pi\right)<0$이므로 $\displaystyle \theta=\frac{3}{8}\pi$에서 최댓값을 갖는다.