동국대 2027학년도 모의 자연계열 1번 해설

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서① $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.② $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이다.– 『고등학교 수학Ⅱ』

[나] 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치가 $\displaystyle x=x(t), \ y=y(t)$ 일 때, 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도는 $\displaystyle (x^{\prime}(t), y^{\prime}(t))$ 이고 가속도는 $\displaystyle (x^{\prime\prime}(t), y^{\prime\prime}(t))$ 이다. 또한, $\displaystyle \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}$ 을 속도의 크기 또는 속력이라고 한다.– 『고등학교 미적분』

[다] 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리는 다음과 같다. $\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ – 『고등학교 미적분』

좌표평면 위를 움직이는 점 P가 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 위치는 원점이며 속력은 $\displaystyle v$ 이고 속도가 $\displaystyle x$ 축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \theta\left(0<\theta\le\frac{\pi}{2}\right)$ 이다. 점 P의 가속도가 항상 $\displaystyle (a,-a)$ 일 때, 점 P의 자취가 이루는 곡선이 $\displaystyle x$ 축과 만나는 점(원점 제외)의 $\displaystyle x$ 좌표가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle \theta$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle v$ 와 $\displaystyle a$ 는 양의 상수)

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1단계 · 주어진 조건으로부터

\displaystyle x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt\cos\theta, \ y(t)=-\frac{1}{2}at^2+vt\sin\theta

를 구한다.

점 P의 좌표 $\displaystyle (x(t), y(t))$ 를 주어진 조건 $\displaystyle x^{\prime\prime}(t)=a, \ x^{\prime}(0)=v\cos\theta, \ x(0)=0, \ y^{\prime\prime}(t)=-a, \ y^{\prime}(0)=v\sin\theta, \ y(0)=0$ 으로부터 다음을 구한다. $\displaystyle x^{\prime}(t)=at+v\cos\theta, \qquad x(t)=\frac{1}{2}at^2+vt\cos\theta,$ $\displaystyle y^{\prime}(t)=-at+v\sin\theta, \qquad y(t)=-\frac{1}{2}at^2+vt\sin\theta$

2단계 ·

\displaystyle y(t)=0

이 되는 시각

\displaystyle t=\frac{2}{a}v\sin\theta

와 그때의

\displaystyle x

좌표

\displaystyle \frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)

를 구한다.

위에서 $\displaystyle y(t)=0 \Leftrightarrow t=0, \ \frac{2}{a}v\sin\theta$ 이므로 $\displaystyle x\left(\frac{2}{a}v\sin\theta\right)=\frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)$ 가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle \theta$ 를 구하면 된다.

3단계 ·

\displaystyle f(\theta)=\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta

로 두고 미분 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여

\displaystyle \theta=\frac{3}{8}\pi

에서 최댓값을 가짐을 확인한다.

$\displaystyle f(\theta)=\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta \ (0<\theta\le\pi/2)$ 로 두면 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta=\sin 2\theta+\cos 2\theta$ 가 0이 될 필요충분조건은 $\displaystyle \tan 2\theta=-1 \ (0<\theta\le\pi/2) \Leftrightarrow \theta=\frac{3}{8}\pi$ 이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}\left(\frac{3}{8}\pi\right)<0$ 이므로 $\displaystyle \theta=\frac{3}{8}\pi$ 에서 최댓값을 갖는다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [3단계]까지 모든 단계의 풀이 과정이 매끄럽고 답을 정확하게 얻은 경우	S
상	[1단계], [2단계]를 풀고 [3단계]에서 미분 및 삼각함수의 덧셈정리를 이용하였으나 최대가 되는 $\displaystyle \theta$ 를 $\displaystyle \frac{3}{8}\pi$ 로 못 구한 경우	A
중	[1단계], [2단계]를 풀고 [3단계]에서 미분만 구하고 삼각함수의 덧셈정리를 이용하지 못하여 최대가 되는 $\displaystyle \theta$ 를 못 구한 경우	B
중	[1단계]를 풀고 [2단계]에서 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle \frac{2}{a}v^2(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta)$ 로 올바르게 구한 경우	C
중	[1단계]를 풀고 [2단계]에서 $\displaystyle y(t)=0$ 이 되는 시각 $\displaystyle t$ 를 구한 경우	D
하	[1단계]에서 $\displaystyle x(t), y(t)$ 둘 중 어느 하나만 구한 경우	E
하	어느 단계의 일부분도 풀이 과정이 매끄럽게 작성하지 못하거나 전혀 작성하지 않은 경우	F

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자연계열 1번

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