자연계열 3번

(1) 최고차항의 계수가 1인 사차 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$라 하자. 그러면 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+3ax^2+2bx+c$이다. 조건 ①로부터 $\displaystyle a=0, \ c=0$, 즉 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+2bx$이다.

조건 ②로부터 $\displaystyle f(1)=4$로부터 $\displaystyle g^{\prime}(4)=g^{\prime}(f(1))=\frac{1}{10}$이다. 제시문 【나】에 의하여 $\displaystyle g^{\prime}(f(x))=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(1)=10$이며 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+2bx$에 대입하면 $\displaystyle b=3$이다. $\displaystyle f(x)=x^4+3x^2+d$에 $\displaystyle f(1)=4$를 대입하면 $\displaystyle d=0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=x^4+3x^2$이고 $\displaystyle f^{\prime}(2)=4(2^3)+6(2)=44$이다.

(2) $\displaystyle f(x)=x^4+3x^2=10$이라 하면 $\displaystyle x^2=2 \ (x>0)$, 즉 $\displaystyle x=\sqrt{2}$이며 $\displaystyle f(\sqrt{2})=10$이다. 그러므로 $\displaystyle g(10)=\sqrt{2}$이다. 역함수 미분에 의하여 접선의 기울기는 $\displaystyle g^{\prime}(10)=g^{\prime}(f(\sqrt{2}))=\frac{1}{f^{\prime}(\sqrt{2})}=\frac{1}{8\sqrt{2}+6\sqrt{2}}=\frac{1}{14\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{28}$이다.

(3) $\displaystyle g(x)=t$라 두면 $\displaystyle x=g^{-1}(t)=f(t), \ \frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t)$이다. $\displaystyle f(1)=4, \ f(2)=28$을 이용하면 정적분 $\displaystyle I$는 다음과 같이 변형된다.$\displaystyle I=\int_{4}^{28}\frac{g(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1}^{2}\frac{tf^{\prime}(t)}{\sqrt{f(t)}}\,dt=\int_{1}^{2}\frac{t(4t^3+6t)}{\sqrt{t^4+3t^2}}\,dt=\int_{1}^{2}\frac{4t(t^2+3)-6t}{\sqrt{t^2+3}}\,dt$

다시 치환 $\displaystyle u=t^2+3, \ \frac{du}{dt}=2t$를 이용하여 다음과 같이 계산 할 수 있다.$\displaystyle I=\int_{1}^{2}\frac{2(t^2+3)-3}{\sqrt{t^2+3}}2t\,dt=\int_{4}^{7}\frac{2u-3}{\sqrt{u}}\,du$$\displaystyle =\int_{4}^{7}\left(2u^{\frac{1}{2}}-3u^{-\frac{1}{2}}\right)du$$\displaystyle =\frac{4}{3}\left(7^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)-6\left(7^{\frac{1}{2}}-4^{\frac{1}{2}}\right)$$\displaystyle =\frac{10\sqrt{7}+4}{3}$