동국대 2027학년도 모의 자연계열 2번 해설

문제

※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

[가] 어떤 시행에서 표본공간 $\displaystyle S$ 의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률 $\displaystyle P(A)$ 를 $\displaystyle P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 로 정의하고, 이를 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 수학적 확률이라고 한다.– 『고등학교 확률과통계』

[나] 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률은 $\displaystyle P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ (단, $\displaystyle P(A)\neq 0$ )– 『고등학교 확률과통계』

[다] 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 중복순열의 수는 $\displaystyle {}_{n}\Pi_{r}=n^r$ – 『고등학교 확률과통계』

[라] $\displaystyle n$ 개 중에 같은 것이 각각 $\displaystyle p$ 개 $\displaystyle q$ 개, $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle r$ 개씩 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{p!q!\cdots r!}$ (단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )– 『고등학교 확률과통계』

[마] 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수가 $\displaystyle P(X=x_i)=p_i \quad (i=1,2,\cdots,n)$ 일 때, $\displaystyle X$ 의 기댓값, 분산, 표준편차 $\displaystyle E(X), \ V(X), \ \sigma(X)$ 는 $\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=m, \quad V(X)=E((X-m)^2), \quad \sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ – 『고등학교 확률과통계』

[바] 이산확률변수 $\displaystyle X$ 와 상수 $\displaystyle a \ (a\neq 0)$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 $\displaystyle E(aX+b)=aE(X)+b, \quad V(aX+b)=a^2V(X), \quad \sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$ – 『고등학교 확률과통계』

[사] 모평균이 $\displaystyle m$ 이고 모표준편차가 $\displaystyle \sigma$ 인 모집단에서 크기가 $\displaystyle n$ 인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 에 대하여 $\displaystyle E(\overline{X})=m, \quad V(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}, \quad \sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ – 『고등학교 확률과통계』

어떤 식당에 A, B, C, D 네 가지 메뉴가 있다고 하고 각각의 가격이 A는 9,000원, B와 C는 10,000원, D는 15,000원이라고 하자. 5일 동안 하루에 한번 이 식당을 방문하여 무작위로 하나의 음식을 주문한다고 할 때, 다음의 질문에 답하시오.

(1) 5일간의 총 가격에 대한 기댓값과 표준편차를 구하시오.

(2) 5일간의 총 가격이 59,000원이 나올 확률을 구하시오.

(3) 5일간의 총 가격이 59,000원이 나왔을 때, 마지막 날에 음식 C를 선택했을 확률을 구하시오.

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1단계 · 한번 주문할 때의 음식가격

\displaystyle X

에 대하여

\displaystyle E(X)=11000

,

\displaystyle V(X)=22\cdot\frac{1000^2}{4}

,

\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{22}\cdot 500

을 구한다.

(1) 확률변수 $\displaystyle X$ 를 한번 주문에서의 음식가격이라고 하면 제시문 【마】에 의하여 $\displaystyle X$ 의 기댓값과 분산, 표준편차는 $\displaystyle E(X)=9000\frac{1}{4}+10000\frac{2}{4}+15000\frac{1}{4}=11000,$ $\displaystyle V(X)=2000^2\frac{1}{4}+1000^2\frac{2}{4}+4000^2\frac{1}{4}=22\cdot\frac{1000^2}{4}, \quad \sigma(X)=\sqrt{22}\cdot 500$ 이다.

2단계 · 표본평균

\displaystyle \overline{X}

를 이용하여 5일간 총합의 기댓값 55,000원과 표준편차

\displaystyle \sqrt{110}\cdot 500

원을 구한다.

제시문 【사】에 의하여 5개의 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$ 의 기댓값과 표준편차는 11000원과 $\displaystyle \sqrt{110}\cdot 100$ 원이다.5일간의 음식가격으로 표본평균을 잡으면 음식값의 총합은 $\displaystyle 5\overline{X}$ 이고 제시문 【바】에 의하여 총합의 기댓값은 55,000원이고 표준편차는 $\displaystyle \sqrt{110}\cdot 500$ 원이다.

3단계 ·

\displaystyle 9x+10y+15z=59

와

\displaystyle x+y+z=5

에서

\displaystyle x=1, \ y=2, \ z=2

를 구한다.

(2) 5일간의 음식 금액이 총 59,000원이 나왔을 때, A의 주문횟수를 $\displaystyle x$ 라고 하고, B와 C의 주문횟수의 합을 $\displaystyle y$ , D의 주문횟수를 $\displaystyle z$ 라고 하자.그러면 $\displaystyle x, \ y, \ z$ 는 $\displaystyle 9000x+10000y+15000z=59{,}000$ , 즉 $\displaystyle 9x+10y+15z=59$ 를 만족한다.또한 문제의 조건에서 $\displaystyle x+y+z=5$ 이므로 $\displaystyle y+6z=14$ 이다. $\displaystyle y$ 와 $\displaystyle z$ 는 0부터 5이하의 정수이므로 $\displaystyle y=2, \ z=2$ 이고 $\displaystyle x=1$ 이다.

4단계 · 같은 것이 있는 순열과 중복순열로 경우의 수 120을 세어 확률

\displaystyle \frac{15}{128}

을 구한다.

A를 1회, B와 C를 합쳐 2회, D를 2회 선택하는 경우의 수는 1개의 문자 A, 2개의 문자 O, 2개의 문자 D를 일렬로 나열하는 방법의 수에 2개의 O에 각각 B와 C를 고르는 방법의 수 $\displaystyle 2^2$ 을 곱한 것으로 제시문 【다】, 【라】에 의하여 $\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}\cdot 2^2=120$ 이다.전체 경우의 수는 제시문 【다】에 의하여 $\displaystyle 4^5$ 이므로 구하는 확률은 제시문 【가】에 의하여 $\displaystyle \frac{120}{4^5}=\frac{15}{128}$ 이다.

5단계 · 마지막 날 C인 경우의 수 24로부터 확률

\displaystyle \frac{3}{128}

을 얻고, 조건부 확률

\displaystyle \frac{1}{5}

을 구한다.

(3) 마지막 날 C를 주문하고 음식금액의 총 합이 59,000원이 나오는 경우의 수는 처음 4일간 A를 1회 B와 C를 1회, D를 2회 선택하는 경우의 수와 같으므로위의 문항과 마찬가지로 $\displaystyle \frac{4!}{2!1!1!}\cdot 2^1=24$ 이고 확률은 $\displaystyle \frac{24}{4^5}=\frac{3}{128}$ 이다.따라서 제시문 【나】에 의하여 구하는 조건부 확률은 $\displaystyle \frac{3/128}{15/128}=\frac{1}{5}$ 이다.

	채점 기준	배점
상	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계의 풀이 과정이 매끄럽고 모든 소문항의 답을 정확하게 얻은 경우	S
상	[1단계]부터 [5단계]까지 모든 단계를 작성하고 모든 소문항의 답을 얻은 경우	A
중	[1단계]부터 [5단계] 중 모든 단계를 작성하고 2개의 소문항의 답을 얻은 경우	B
중	[1단계]부터 [5단계] 중 세 단계를 작성하고 1개의 소문항의 답을 얻은 경우	C
중	[1단계]부터 [5단계] 중 두 단계를 작성한 경우	D
하	[1단계]부터 [5단계] 중에서 어느 한 단계만 작성한 경우	E
하	어느 단계의 일부분도 풀이 과정이 매끄럽게 작성하지 못하거나 전혀 작성하지 않은 경우	F

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