자연계열 2번

(1) 확률변수 $\displaystyle X$를 한번 주문에서의 음식가격이라고 하면 제시문 【마】에 의하여 $\displaystyle X$의 기댓값과 분산, 표준편차는$\displaystyle E(X)=9000\frac{1}{4}+10000\frac{2}{4}+15000\frac{1}{4}=11000,$$\displaystyle V(X)=2000^2\frac{1}{4}+1000^2\frac{2}{4}+4000^2\frac{1}{4}=22\cdot\frac{1000^2}{4}, \quad \sigma(X)=\sqrt{22}\cdot 500$이다.

제시문 【사】에 의하여 5개의 표본평균 $\displaystyle \overline{X}$의 기댓값과 표준편차는 11000원과 $\displaystyle \sqrt{110}\cdot 100$원이다. 5일간의 음식가격으로 표본평균을 잡으면 음식값의 총합은 $\displaystyle 5\overline{X}$이고 제시문 【바】에 의하여 총합의 기댓값은 55,000원이고 표준편차는 $\displaystyle \sqrt{110}\cdot 500$원이다.

(2) 5일간의 음식 금액이 총 59,000원이 나왔을 때, A의 주문횟수를 $\displaystyle x$라고 하고, B와 C의 주문횟수의 합을 $\displaystyle y$, D의 주문횟수를 $\displaystyle z$라고 하자. 그러면 $\displaystyle x, \ y, \ z$는 $\displaystyle 9000x+10000y+15000z=59{,}000$, 즉 $\displaystyle 9x+10y+15z=59$를 만족한다. 또한 문제의 조건에서 $\displaystyle x+y+z=5$이므로 $\displaystyle y+6z=14$이다. $\displaystyle y$와 $\displaystyle z$는 0부터 5이하의 정수이므로 $\displaystyle y=2, \ z=2$이고 $\displaystyle x=1$이다.

A를 1회, B와 C를 합쳐 2회, D를 2회 선택하는 경우의 수는 1개의 문자 A, 2개의 문자 O, 2개의 문자 D를 일렬로 나열하는 방법의 수에 2개의 O에 각각 B와 C를 고르는 방법의 수 $\displaystyle 2^2$을 곱한 것으로 제시문 【다】, 【라】에 의하여 $\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}\cdot 2^2=120$ 이다. 전체 경우의 수는 제시문 【다】에 의하여 $\displaystyle 4^5$이므로 구하는 확률은 제시문 【가】에 의하여 $\displaystyle \frac{120}{4^5}=\frac{15}{128}$이다.

(3) 마지막 날 C를 주문하고 음식금액의 총 합이 59,000원이 나오는 경우의 수는 처음 4일간 A를 1회 B와 C를 1회, D를 2회 선택하는 경우의 수와 같으므로 위의 문항과 마찬가지로 $\displaystyle \frac{4!}{2!1!1!}\cdot 2^1=24$이고 확률은 $\displaystyle \frac{24}{4^5}=\frac{3}{128}$이다.따라서 제시문 【나】에 의하여 구하는 조건부 확률은 $\displaystyle \frac{3/128}{15/128}=\frac{1}{5}$이다.