자연계열 II 1번

[문제 1-1]조건 (가)에서 $\displaystyle n$이 홀수일 때 $\displaystyle a_n=p\times r^{\frac{n-1}{2}}$이므로 $\displaystyle n=2k-1$을 대입하면$\displaystyle a_{2k-1}=p\times r^{k-1}$ (단, $\displaystyle k$는 자연수) (1)조건 (나)에서 $\displaystyle n=2k-1$을 대입하면$\displaystyle a_{2k-1}\times a_{12-2k}=q$식 (1)을 대입하여 정리하면$\displaystyle a_{12-2k}=\frac{q}{p}\times r^{1-k}$ (2)이 때, $\displaystyle k=6-m$을 식(2)에 대입하여 정리하면$\displaystyle a_{2m}=\frac{q}{p}\times r^{m-5}$ (3)따라서 수열 $\displaystyle \{a_{2m}\}$은 첫째항이 $\displaystyle a_2=\frac{q}{p}\times r^{-4}$이고 공비가 $\displaystyle r$인 등비수열이다.

[문제 1-2][문제 1-1]을 토대로 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 다음과 같다.$\displaystyle a_n=\begin{cases}a_1\times r^{k-1}&(n=2k-1,\ k\text{는 5이하의 자연수})\\a_2\times r^{k-1}&(n=2k,\ k\text{는 5이하의 자연수})\end{cases}$ (4)수열의 합을 계산할 때 홀수 번째 항과 짝수 번째 항의 합은 각각 등비수열의 합이므로 공비 $\displaystyle r$의 값의 범위에 따라 다음의 경우로 나누어 생각할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{10}a_k&=\sum_{k=1}^{5}a_{2k-1}+\sum_{k=1}^{5}a_{2k}\\&=\sum_{k=1}^{5}a_1\times r^{k-1}+\sum_{k=1}^{5}a_2\times r^{k-1}\end{aligned}$ (5)에서1) $\displaystyle r=1$인 경우 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=5(a_1+a_2)=30$ (6)문제의 조건을 만족하지 않는다.2) $\displaystyle r\ne1$인 경우 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{10}a_k&=\frac{a_1(r^5-1)}{r-1}+\frac{a_2(r^5-1)}{r-1}\\&=(a_1+a_2)\times\frac{r^5-1}{r-1}\\&=6(r^4+r^3+r^2+r+1)\end{aligned}$ (7)$\displaystyle 6(r^4+r^3+r^2+r+1)=726$이므로 $\displaystyle r^4+r^3+r^2+r=120$에서 좌변을 인수분해하면$\displaystyle r(r+1)(r^2+1)=3\times4\times10$ (8)따라서 $\displaystyle r=3$이다.

[문제 1-3]$\displaystyle a_1\times a_{10}=q$이고 식 (4)에서 $\displaystyle a_{10}=16a_2$이므로$\displaystyle a_1\times16a_2=q$에서 $\displaystyle a_1\times a_2=\frac{q}{16}$ (9)또한 조건 (나)에서 $\displaystyle a_1+a_2=6$이므로, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle a_1$과 $\displaystyle a_2$는 다음 이차방정식의 두 근이다.$\displaystyle x^2-6x+\frac{q}{16}=0$ (10)근의 공식을 이용하여 식 (10)에서 두 근을 구하면 $\displaystyle x=3\pm\sqrt{9-\frac{q}{16}}$이므로$\displaystyle \begin{gathered}a_1=3+\sqrt{9-\frac{q}{16}},\ a_2=3-\sqrt{9-\frac{q}{16}}\quad(a_1\ge a_2)\\a_1=3-\sqrt{9-\frac{q}{16}},\ a_2=3+\sqrt{9-\frac{q}{16}}\quad(a_1<a_2)\end{gathered}$ (11)이 때, (두 근의 합)$\displaystyle >0$이고 (두 근의 곱)$\displaystyle >0$이므로 $\displaystyle a_1$과 $\displaystyle a_2$는 양수이다. 따라서$\displaystyle a_1=p$와 $\displaystyle a_2=6-p$는 자연수이므로 $\displaystyle 9-\frac{q}{16}$은 제곱수이어야 한다. 조건을 만족하는 범위를 구하면$\displaystyle 0\le9-\frac{q}{16}<9$에서$\displaystyle 9-\frac{q}{16}=0$ 또는 $\displaystyle 9-\frac{q}{16}=1$ 또는 $\displaystyle 9-\frac{q}{16}=4$ (12)식 (12)를 정리하면$\displaystyle q=80$ 또는 $\displaystyle q=128$ 또는 $\displaystyle q=144$ (13)이므로 $\displaystyle b_1=80$, $\displaystyle b_2=128$, $\displaystyle b_3=144$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^{l}b_k=b_1+b_2+b_3=352$ (14)