자연계열 II 3번

[문제 3-1]$\displaystyle x\to\infty$일 때, $\displaystyle x>a$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{A}_1(-a,\ y_1)$, $\displaystyle \mathrm{A}_2(a,\ y_2)$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{B}_1(-a,\ 0)$, $\displaystyle \mathrm{B}_2(a,\ 0)$라 하면, 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{P}$에서$\displaystyle \tan\theta_1(x)=\frac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}}{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{P}}}=\frac{y_1}{x+a},\ \tan\theta_2(x)=\frac{\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}}{\overline{\mathrm{B}_2\mathrm{P}}}=\frac{y_2}{x-a}.$(혹은, $\displaystyle \sin\theta_1(x)=\frac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{P}}}=\frac{y_1}{\sqrt{(x+a)^2+y_1^2}},\ \sin\theta_2(x)=\frac{\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}}{\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{P}}}=\frac{y_2}{\sqrt{(x-a)^2+y_2^2}}.$) (1)

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\theta_1(x)=\lim_{x\to\infty}\theta_2(x)=0$이고 극한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}$가 존재하므로,$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\tan\theta}{\theta}=1$ (혹은 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$)을 이용하면$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}\cdot\frac{\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\theta_2(x)}{\theta_2(x)}}{\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\theta_1(x)}{\theta_1(x)}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\theta_2(x)}{\tan\theta_1(x)}.$(혹은, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}\cdot\frac{\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\theta_2(x)}{\theta_2(x)}}{\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\theta_1(x)}{\theta_1(x)}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\theta_2(x)}{\sin\theta_1(x)}.$) (2)

(1), (2)를 이용하여$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\tan\theta_2(x)}{\tan\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{y_2}{x-a}}{\frac{y_1}{x+a}}.$(혹은, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\theta_2(x)}{\sin\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{y_2}{\sqrt{(x-a)^2+y_2^2}}}{\frac{y_1}{\sqrt{(x+a)^2+y_1^2}}}.$) (3)

(3)을 이용하여$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{y_2}{x-a}}{\frac{y_1}{x+a}}=\frac{y_2}{y_1}.$(혹은, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{y_2}{\sqrt{(x-a)^2+y_2^2}}}{\frac{y_1}{\sqrt{(x+a)^2+y_1^2}}}=\frac{y_2}{y_1}.$) (4)

[문제 3-2]함수 $\displaystyle f(x)$의 정의와 주어진 점들의 좌표들로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\frac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{P}}^2-\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{P}}^2}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{P}}^2}=\frac{\{\sqrt{(x+a)^2+1^2}\}^2-\{\sqrt{(x-a)^2+1^2}\}^2}{\{\sqrt{(x+a)^2+1^2}\}^2+\{\sqrt{(x-a)^2+1^2}\}^2}\\&=\frac{\{(x+a)^2+1^2\}-\{(x-a)^2+1^2\}}{\{(x+a)^2+1^2\}+\{(x-a)^2+1^2\}}=\frac{2ax}{x^2+a^2+1},\end{aligned}$$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}_1}=\sqrt{(-a)^2+1^2}=\sqrt{a^2+1}.$따라서 주어진 적분은$\displaystyle \int_0^{\overline{\mathrm{OA}_1}}f(x)\,dx=\int_0^{\sqrt{a^2+1}}\frac{2ax}{x^2+a^2+1}\,dx.$ (5)

$\displaystyle u=x^2+a^2+1,\ du=2x\,dx$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\sqrt{a^2+1}}\frac{2ax}{x^2+a^2+1}\,dx&=\int_{a^2+1}^{2(a^2+1)}\frac{a\,du}{u}=a\Biggl[\ln u\Biggr]_{a^2+1}^{2(a^2+1)}\\&=a[\ln\{2(a^2+1)\}-\ln(a^2+1)].\end{aligned}$ (6)따라서 로그의 성질을 이용하면$\displaystyle \int_0^{\overline{\mathrm{OA}_1}}f(x)\,dx=a\{\ln2+\ln(a^2+1)-\ln(a^2+1)\}=a\ln2$이므로 $\displaystyle k=\ln2$이다. (7)

[문제 3-3]함수 $\displaystyle f(x)$의 정의와 주어진 점들의 좌표들로부터 다음을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\frac{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{P}}^2-\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{P}}^2}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{P}}^2}=\frac{\{\sqrt{(x+a)^2+b^2}\}^2-\{\sqrt{(x-a)^2+b^2}\}^2}{\{\sqrt{(x+a)^2+b^2}\}^2+\{\sqrt{(x-a)^2+b^2}\}^2}\\&=\frac{\{(x+a)^2+b^2\}-\{(x-a)^2+b^2\}}{\{(x+a)^2+b^2\}+\{(x-a)^2+b^2\}}=\frac{2ax}{x^2+a^2+b^2}.\end{aligned}$ (8)

$\displaystyle f(x)$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\left(\frac{2ax}{x^2+a^2+b^2}\right)^{\prime}=\frac{2a(x^2+a^2+b^2)-2ax\cdot2x}{(x^2+a^2+b^2)^2}\\&=-\frac{2a}{(x^2+a^2+b^2)^2}\{x^2-(a^2+b^2)\}\\&=-\frac{2a}{(x^2+a^2+b^2)^2}(x+\sqrt{a^2+b^2})(x-\sqrt{a^2+b^2})\end{aligned}$이므로, (9)함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\sqrt{a^2+b^2}$에서 극소, $\displaystyle x=\sqrt{a^2+b^2}$에 극대,$\displaystyle x\le-\sqrt{a^2+b^2}$일 때 감소, $\displaystyle -\sqrt{a^2+b^2}\le x\le\sqrt{a^2+b^2}$일 때 증가, $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\le x$일 때 감소이다. (10)

또한 $\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2ax}{x^2+a^2+b^2}=0$이므로,함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\sqrt{a^2+b^2}$에서 최소, $\displaystyle x=\sqrt{a^2+b^2}$에 최대가 된다. (11)

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$의 좌표는 $\displaystyle (-\sqrt{a^2+b^2},\ 0)$이고,점 $\displaystyle \mathrm{B}$가 점 $\displaystyle \mathrm{P}_0$와 일치할 때$\displaystyle -2a=-\sqrt{a^2+b^2}$이다.양변을 제곱하면 $\displaystyle 4a^2=a^2+b^2$이므로 $\displaystyle 3a^2=b^2$, 즉 $\displaystyle \frac{b^2}{a^2}=3$.$\displaystyle a$, $\displaystyle b$는 양수이므로 $\displaystyle \frac{b}{a}=\sqrt3$. (12)