수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 2번

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덕성여대 2027학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2027mo/jayeon2_2

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(가) 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)\displaystyle f(x)가 f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1, f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2를 만족시킨다.

(나) 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 h(x)=f(x)+f(f(x))\displaystyle h(x)=f(x)+f(f(x))로 정의한다.

(다) 실수 k\displaystyle k에 대하여 C(k)={x∣h(x)=h(k), x는 실수}\displaystyle C(k)=\{x\mid h(x)=h(k),\ x\text{는 실수}\}라 하고, N(k)\displaystyle N(k)를 집합 C(k)\displaystyle C(k)의 원소의 개수라 하자.

[문제 2-1] 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 식을 구하고, 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 f(x)\displaystyle f(x)와 상수만을 이용하여 나타내시오. [7점]

[문제 2-2] 임의의 실수 k\displaystyle k에 대하여 h(x)=h(k)\displaystyle h(x)=h(k)를 만족시키는 실수 x\displaystyle x는f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k) 또는 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)를 만족시킴을 보이시오. 그리고 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 x\displaystyle x에 대한 식으로 나타내어 증가와 감소를 조사하고 극값을 모두 구하시오. [12.25점]

[문제 2-3] 두 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)와 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)의 서로 다른 실근의 개수를 k\displaystyle k의 값에 따라 설명하시오.이를 이용해 N(k)\displaystyle N(k)가 최댓값을 갖도록 하는 실수 k\displaystyle k의 값의 범위를 모두 구하시오. [15.75점]

해설강의 준비중

덕성여대 2027학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2027mo/jayeon2_2

[문제 2-1]지시문 (가)에 의하여 f(x)\displaystyle f(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로f(x)=x2+bx+c\displaystyle f(x)=x^2+bx+c (1)라 하자. 조건 f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1에서 c=−1\displaystyle c=-1이고, 조건 f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2에서 1+b+c=−2\displaystyle 1+b+c=-2c=−1\displaystyle c=-1을 대입하면 b=−2\displaystyle b=-2이므로f(x)=x2−2x−1\displaystyle f(x)=x^2-2x-1 (2)를 얻는다.

y=f(x)\displaystyle y=f(x)라 하면,f(f(x))=f(y)=y2−2y−1\displaystyle f(f(x))=f(y)=y^2-2y-1 (3)임을 알 수 있다.지시문 (나)에 주어진 함수 h(x)\displaystyle h(x)에 대하여 식 (2)와 식 (3)에서 구한 f(x)\displaystyle f(x)와 f(f(x))\displaystyle f(f(x))를 대입하면h(x)=f(x)+f(f(x))=y+(y2−2y−1)=y2−y−1\displaystyle h(x)=f(x)+f(f(x))=y+(y^2-2y-1)=y^2-y-1 (4)이므로 식 (4)에 y=f(x)\displaystyle y=f(x)를 대입하면h(x)={f(x)}2−f(x)−1\displaystyle h(x)=\{f(x)\}^2-f(x)-1 (5)을 얻는다.

[문제 2-2]h(x)=h(k)\displaystyle h(x)=h(k)에서 식 (5)에 의하여{f(x)}2−f(x)−1={f(k)}2−f(k)−1\displaystyle \{f(x)\}^2-f(x)-1=\{f(k)\}^2-f(k)-1 (6)을 얻는다. 식 (6)을 정리하면{f(x)}2−{f(k)}2−f(x)+f(k)=0\displaystyle \{f(x)\}^2-\{f(k)\}^2-f(x)+f(k)=0 (7)이고, {f(x)}2−{f(k)}2={f(x)−f(k)}{f(x)+f(k)}\displaystyle \{f(x)\}^2-\{f(k)\}^2=\{f(x)-f(k)\}\{f(x)+f(k)\}이므로{f(x)−f(k)}{f(x)+f(k)−1}=0\displaystyle \{f(x)-f(k)\}\{f(x)+f(k)-1\}=0 (8)이다. 식 (8)로부터 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k) 또는 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)이다.함수 h(x)\displaystyle h(x)를 x\displaystyle x에 대한 식으로 나타내자. 식 (2)를 식 (5)에 대입하면h(x)=(x2−2x−1)2−(x2−2x−1)−1=(x4+4x2+1−4x3−2x2+4x)−x2+2x+1−1=x4−4x3+x2+6x+1\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=(x^2-2x-1)^2-(x^2-2x-1)-1\\&=(x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x)-x^2+2x+1-1\\&=x^4-4x^3+x^2+6x+1\end{aligned} (9)을 얻는다. 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 증가와 감소를 조사하기 위해 도함수를 구하면h′(x)=4x3−12x2+2x+6=(x−1)(4x2−8x−6)=2(x−1)(2x2−4x−3)\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=4x^3-12x^2+2x+6\\&=(x-1)(4x^2-8x-6)\\&=2(x-1)(2x^2-4x-3)\end{aligned} (10)방정식 2x2−4x−3=0\displaystyle 2x^2-4x-3=0은 서로 다른 두 실근 2±4+62=1±102\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{4+6}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}을 갖는다.따라서 h′(x)=0\displaystyle h^{\prime}(x)=0에서x=1−102\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{10}}{2} 또는 x=1\displaystyle x=1 또는 x=1+102\displaystyle x=1+\frac{\sqrt{10}}{2} (11)이고, h′(x)\displaystyle h^{\prime}(x)의 부호를 조사하여 함수 h(x)\displaystyle h(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x\displaystyle x⋯\displaystyle \cdots1−102\displaystyle 1-\frac{\sqrt{10}}{2}⋯\displaystyle \cdots1\displaystyle 1⋯\displaystyle \cdots1+102\displaystyle 1+\frac{\sqrt{10}}{2}⋯\displaystyle \cdots
h′(x)\displaystyle h^{\prime}(x)−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
h(x)\displaystyle h(x)↘\displaystyle \searrow−54\displaystyle -\frac54↗\displaystyle \nearrow5\displaystyle 5↘\displaystyle \searrow−54\displaystyle -\frac54↗\displaystyle \nearrow

따라서 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 구간 (−∞, 1−102]\displaystyle \left(-\infty,\ 1-\frac{\sqrt{10}}{2}\right], [1, 1+102]\displaystyle \left[1,\ 1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right]에서 감소하고구간 [1−102, 1]\displaystyle \left[1-\frac{\sqrt{10}}{2},\ 1\right], [1+102, ∞)\displaystyle \left[1+\frac{\sqrt{10}}{2},\ \infty\right)에서 증가하며x=1\displaystyle x=1에서 극댓값 5를 갖고, x=1−102\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}와 x=1+102\displaystyle x=1+\frac{\sqrt{10}}{2}에서 극솟값 −54\displaystyle -\frac54를 갖는다.

[문제 2-3]지시문 (다)와 식 (8)에 의하여 집합 C(k)\displaystyle C(k)는 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)의 실근과 방정식 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)의 실근을 원소로 갖는다. 따라서 N(k)\displaystyle N(k)를 구하기 위해 두 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 조사하자. 식 (2)를 완전제곱식으로 나타내면f(x)=(x−1)2−2\displaystyle f(x)=(x-1)^2-2 (12)이다. 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)는(x−1)2=(k−1)2\displaystyle (x-1)^2=(k-1)^2 (13)와 같으므로, 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)의 서로 다른 실근의 개수는 k=1\displaystyle k=1일 때 1이고 k≠1\displaystyle k\ne1일 때 2이다.

방정식 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)는(x−1)2=5−(k−1)2\displaystyle (x-1)^2=5-(k-1)^2 (14)와 같으므로, 방정식 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)의 서로 다른 실근의 개수는 (k−1)2<5\displaystyle (k-1)^2<5일 때 2, (k−1)2=5\displaystyle (k-1)^2=5일 때 1, (k−1)2>5\displaystyle (k-1)^2>5일 때 0이다.

식 (13)에 의해 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)의 서로 다른 실근의 개수는 최대 2이고, 식 (14)에 의해 방정식 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)의 서로 다른 실근의 개수도 최대 2이다. 따라서N(k)≤4\displaystyle N(k)\le4 (15)이다. 즉 N(k)\displaystyle N(k)의 최댓값은 4이고, N(k)\displaystyle N(k)가 최댓값을 갖기 위해서는 적어도 두 방정식이 각각 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 두 방정식이 모두 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 k\displaystyle k의 값의 범위는 k≠1\displaystyle k\ne1이고 1−5<k<1+5\displaystyle 1-\sqrt5<k<1+\sqrt5에서1−5<k<1\displaystyle 1-\sqrt5<k<1 또는 1<k<1+5\displaystyle 1<k<1+\sqrt5 (16)이다.

이때, 두 방정식 f(x)=f(k)\displaystyle f(x)=f(k)와 f(x)=1−f(k)\displaystyle f(x)=1-f(k)가 모두 서로 다른 두 실근을 갖더라도, 두 방정식을 동시에 만족시키는 실수 x\displaystyle x의 값이 존재하면 N(k)\displaystyle N(k)는 최댓값을 갖지 않는다.f(k)=1−f(k)\displaystyle f(k)=1-f(k)인 경우, 즉f(k)=12\displaystyle f(k)=\frac12 (17)이면 N(k)\displaystyle N(k)는 최댓값을 갖지 않고,식 (17)을 만족시키는 실수 k\displaystyle k의 값은 k=1−102\displaystyle k=1-\frac{\sqrt{10}}{2} 또는 k=1+102\displaystyle k=1+\frac{\sqrt{10}}{2}이다.

따라서 N(k)\displaystyle N(k)가 최댓값 4를 갖도록 하는 실수 k\displaystyle k는1−5<k<1−102\displaystyle 1-\sqrt5<k<1-\frac{\sqrt{10}}{2} 또는 1−102<k<1\displaystyle 1-\frac{\sqrt{10}}{2}<k<1 또는1<k<1+102\displaystyle 1<k<1+\frac{\sqrt{10}}{2} 또는 1+102<k<1+5\displaystyle 1+\frac{\sqrt{10}}{2}<k<1+\sqrt5 (18)인 모든 실수이다.

또는 이를 다시 정리하면 1−5<k<1+5\displaystyle 1-\sqrt5<k<1+\sqrt5을 만족하면서 k≠1−102\displaystyle k\ne1-\frac{\sqrt{10}}{2}, k≠1\displaystyle k\ne1, k≠1+102\displaystyle k\ne1+\frac{\sqrt{10}}{2}인 실수이다.

※ 채점기준 작성 및 점수 환산본 문항의 채점기준은 평가요소를 명확히 제시하기 위하여 100점 만점 기준으로 작성하였다. 실제 시험에서는 자연계열Ⅱ의 [문제2]에 해당하며, 최종 점수 산출 시 해당 평가 기준에 따른 부여 점수에 0.35를 곱하여 반영한다.

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