자연계열 II 2번

[문제 2-1]지시문 (가)에 의하여 $\displaystyle f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수이므로$\displaystyle f(x)=x^2+bx+c$ (1)라 하자. 조건 $\displaystyle f(0)=-1$에서 $\displaystyle c=-1$이고, 조건 $\displaystyle f(1)=-2$에서 $\displaystyle 1+b+c=-2$$\displaystyle c=-1$을 대입하면 $\displaystyle b=-2$이므로$\displaystyle f(x)=x^2-2x-1$ (2)를 얻는다.

$\displaystyle y=f(x)$라 하면,$\displaystyle f(f(x))=f(y)=y^2-2y-1$ (3)임을 알 수 있다.지시문 (나)에 주어진 함수 $\displaystyle h(x)$에 대하여 식 (2)와 식 (3)에서 구한 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle f(f(x))$를 대입하면$\displaystyle h(x)=f(x)+f(f(x))=y+(y^2-2y-1)=y^2-y-1$ (4)이므로 식 (4)에 $\displaystyle y=f(x)$를 대입하면$\displaystyle h(x)=\{f(x)\}^2-f(x)-1$ (5)을 얻는다.

[문제 2-2]$\displaystyle h(x)=h(k)$에서 식 (5)에 의하여$\displaystyle \{f(x)\}^2-f(x)-1=\{f(k)\}^2-f(k)-1$ (6)을 얻는다. 식 (6)을 정리하면$\displaystyle \{f(x)\}^2-\{f(k)\}^2-f(x)+f(k)=0$ (7)이고, $\displaystyle \{f(x)\}^2-\{f(k)\}^2=\{f(x)-f(k)\}\{f(x)+f(k)\}$이므로$\displaystyle \{f(x)-f(k)\}\{f(x)+f(k)-1\}=0$ (8)이다. 식 (8)로부터 $\displaystyle f(x)=f(k)$ 또는 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$이다.함수 $\displaystyle h(x)$를 $\displaystyle x$에 대한 식으로 나타내자. 식 (2)를 식 (5)에 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=(x^2-2x-1)^2-(x^2-2x-1)-1\\&=(x^4+4x^2+1-4x^3-2x^2+4x)-x^2+2x+1-1\\&=x^4-4x^3+x^2+6x+1\end{aligned}$ (9)을 얻는다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 조사하기 위해 도함수를 구하면$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=4x^3-12x^2+2x+6\\&=(x-1)(4x^2-8x-6)\\&=2(x-1)(2x^2-4x-3)\end{aligned}$ (10)방정식 $\displaystyle 2x^2-4x-3=0$은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{4+6}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$을 갖는다.따라서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$에서$\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$ 또는 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=1+\frac{\sqrt{10}}{2}$ (11)이고, $\displaystyle h^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle h(x)$는 구간 $\displaystyle \left(-\infty,\ 1-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$, $\displaystyle \left[1,\ 1+\frac{\sqrt{10}}{2}\right]$에서 감소하고구간 $\displaystyle \left[1-\frac{\sqrt{10}}{2},\ 1\right]$, $\displaystyle \left[1+\frac{\sqrt{10}}{2},\ \infty\right)$에서 증가하며$\displaystyle x=1$에서 극댓값 5를 갖고, $\displaystyle x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$와 $\displaystyle x=1+\frac{\sqrt{10}}{2}$에서 극솟값 $\displaystyle -\frac54$를 갖는다.

[문제 2-3]지시문 (다)와 식 (8)에 의하여 집합 $\displaystyle C(k)$는 방정식 $\displaystyle f(x)=f(k)$의 실근과 방정식 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$의 실근을 원소로 갖는다. 따라서 $\displaystyle N(k)$를 구하기 위해 두 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 조사하자. 식 (2)를 완전제곱식으로 나타내면$\displaystyle f(x)=(x-1)^2-2$ (12)이다. 방정식 $\displaystyle f(x)=f(k)$는$\displaystyle (x-1)^2=(k-1)^2$ (13)와 같으므로, 방정식 $\displaystyle f(x)=f(k)$의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle k=1$일 때 1이고 $\displaystyle k\ne1$일 때 2이다.

방정식 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$는$\displaystyle (x-1)^2=5-(k-1)^2$ (14)와 같으므로, 방정식 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$의 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle (k-1)^2<5$일 때 2, $\displaystyle (k-1)^2=5$일 때 1, $\displaystyle (k-1)^2>5$일 때 0이다.

식 (13)에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=f(k)$의 서로 다른 실근의 개수는 최대 2이고, 식 (14)에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$의 서로 다른 실근의 개수도 최대 2이다. 따라서$\displaystyle N(k)\le4$ (15)이다. 즉 $\displaystyle N(k)$의 최댓값은 4이고, $\displaystyle N(k)$가 최댓값을 갖기 위해서는 적어도 두 방정식이 각각 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 두 방정식이 모두 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle k\ne1$이고 $\displaystyle 1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$에서$\displaystyle 1-\sqrt5<k<1$ 또는 $\displaystyle 1<k<1+\sqrt5$ (16)이다.

이때, 두 방정식 $\displaystyle f(x)=f(k)$와 $\displaystyle f(x)=1-f(k)$가 모두 서로 다른 두 실근을 갖더라도, 두 방정식을 동시에 만족시키는 실수 $\displaystyle x$의 값이 존재하면 $\displaystyle N(k)$는 최댓값을 갖지 않는다.$\displaystyle f(k)=1-f(k)$인 경우, 즉$\displaystyle f(k)=\frac12$ (17)이면 $\displaystyle N(k)$는 최댓값을 갖지 않고,식 (17)을 만족시키는 실수 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle k=1-\frac{\sqrt{10}}{2}$ 또는 $\displaystyle k=1+\frac{\sqrt{10}}{2}$이다.

따라서 $\displaystyle N(k)$가 최댓값 4를 갖도록 하는 실수 $\displaystyle k$는$\displaystyle 1-\sqrt5<k<1-\frac{\sqrt{10}}{2}$ 또는 $\displaystyle 1-\frac{\sqrt{10}}{2}<k<1$ 또는$\displaystyle 1<k<1+\frac{\sqrt{10}}{2}$ 또는 $\displaystyle 1+\frac{\sqrt{10}}{2}<k<1+\sqrt5$ (18)인 모든 실수이다.

또는 이를 다시 정리하면 $\displaystyle 1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$을 만족하면서 $\displaystyle k\ne1-\frac{\sqrt{10}}{2}$, $\displaystyle k\ne1$, $\displaystyle k\ne1+\frac{\sqrt{10}}{2}$인 실수이다.