자연계열 4번

(1) 각 조건으로부터 다음의 식들을 얻을 수 있다.조건 ① : $\displaystyle r+g+b=13,\ r+3g+5b=t$조건 ② : $\displaystyle 2x+3y+6z=t,\quad xyz\ne0$ ($\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$는 모두 0이 아님)조건 ③ : $\displaystyle 2x=3y$, 혹은 $\displaystyle 2x=6z$ 혹은 $\displaystyle 3y=6z$조건 ④ : $\displaystyle ps=480$조건 ⑤ : $\displaystyle x+y+z=s$

조건 ①로부터 $\displaystyle r$, $\displaystyle g$, $\displaystyle b$ 는 모두 홀수이거나 하나만 홀수이어야 함을 알 수 있다. 따라서 둘 중 어떤 경우라도 $\displaystyle t$는 홀수가 된다. $\displaystyle t$가 홀수이므로 조건 ②로부터 $\displaystyle y$가 홀수여야 하고 ($\displaystyle \because\ 2x$, $\displaystyle 6z$는 짝수), 따라서 조건 ③에서 $\displaystyle 2x=6z$만이 성립함을 알 수 있다 ($\displaystyle \because\ 3y$는 홀수). $\displaystyle x=3z$ 이므로 조건 ⑤로부터 $\displaystyle y+4z=s$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle y$가 홀수이므로 $\displaystyle s$도 홀수가 된다.

한편, 조건 ⑤에서 $\displaystyle x+z+$홀수 $\displaystyle =$ 홀수 이므로 $\displaystyle x+z$는 짝수이다. 따라서 $\displaystyle x$, $\displaystyle z$가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 결론적으로 $\displaystyle y$, $\displaystyle t$ (그리고 $\displaystyle s$)는 홀수임을 결정할 수 있으나, 주어진 조건만으로는 $\displaystyle x$, $\displaystyle z$ 각각이 짝수인지 홀수인지 여부는 알 수 없다.

(2) 조건 ④와 $\displaystyle s$가 홀수라는 조건에서 $\displaystyle s=1,\ 3,\ 5,\ 15$ 뿐임을 알 수 있다. 한편 조건 ②, ③, ⑤를 동시에 만족하는 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$값은 다음 식을 만족한다. : ($\displaystyle y+4z=s,\quad x=3z,\quad 2x+3y+6z=t$). 이를 이용하여, $\displaystyle (x,\ y,\ z)$ 값을 구하면 다음과 같다:

가. $\displaystyle s=1$인 경우: $\displaystyle (0,\ 1,\ 0)$나. $\displaystyle s=3$인 경우: $\displaystyle (0,\ 3,\ 0)$다. $\displaystyle s=5$인 경우: $\displaystyle (0,\ 5,\ 0)$ 혹은 $\displaystyle (3,\ 1,\ 1)$라. $\displaystyle s=15$인 경우: $\displaystyle (0,\ 15,\ 0)$ 혹은 $\displaystyle (3,\ 11,\ 1)$ 혹은 $\displaystyle (6,\ 7,\ 2)$ 혹은 $\displaystyle (9,\ 3,\ 3)$

우선 조건 ②로부터 $\displaystyle (x,\ y,\ z)$에 0이 하나라도 포함된 경우는 제외할 수 있다. 따라서 가능한 $\displaystyle (x,\ y,\ z)$는 $\displaystyle (3,\ 1,\ 1)$, $\displaystyle (3,\ 11,\ 1)$, $\displaystyle (6,\ 7,\ 2)$, $\displaystyle (9,\ 3,\ 3)$ 으로 제한된다.

그러므로 조건 ⑥을 이용하면 가능한 $\displaystyle (x,\ y,\ z)$는 $\displaystyle (3,\ 11,\ 1)$, $\displaystyle (6,\ 7,\ 2)$로서, 을이 놀이기구를 가장 많이 이용했음을 알 수 있다.

한편 조건 ⑦을 이용하면, $\displaystyle (x,\ y,\ z)$가 $\displaystyle (3,\ 1,\ 1)$인 경우, $\displaystyle s=5,\ t=15$가 되고 조건 ①을 이용하여 가능한 $\displaystyle (r,\ g,\ b)$ 값을 구하면 $\displaystyle (12,\ 1,\ 0)$이므로 조건에 위배되지 않는다. 즉 이 경우는 $\displaystyle x$가 최대가 된다. 그러나 $\displaystyle (x,\ y,\ z)$가 $\displaystyle (3,\ 11,\ 1)$, $\displaystyle (6,\ 7,\ 2)$, $\displaystyle (9,\ 3,\ 3)$인 경우에는 모두 $\displaystyle s=15,\ t=45$가 되고 이 때 가능한 $\displaystyle (r,\ g,\ b)$ 값은 $\displaystyle (0,\ 10,\ 3)$, $\displaystyle (1,\ 8,\ 4)$, $\displaystyle (2,\ 6,\ 5)$, $\displaystyle (3,\ 4,\ 6)$, $\displaystyle (4,\ 2,\ 7)$, $\displaystyle (5,\ 0,\ 8)$이다. 이 모두 조건에 위배되지 않으므로 어떤 경우는 $\displaystyle y$가, 어떤 경우는 $\displaystyle x$가 최대가 되어 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ 중 어떤 수가 최대인지 판정할 수 없다.