자연계열 5번

(1) 주어진 표로부터 $\displaystyle a_n$의 소수점 이하 각 자릿수가 한번 반복되면 이후로 변하지 않는 것을 예측할 수 있다. 이는 특정 자릿수까지 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$이 같은 값을 가지면 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 평균을 취하는 $\displaystyle a_{n+1}$도 해당 자릿수까지가 같은 값을 갖는 것으로부터도 유추할 수 있다. 또한 표에 나타난 $\displaystyle a_n$의 값은 소수점 아래 4자리(혹은 3자리)까지 살펴보았을 때, $\displaystyle \sqrt2$의 근사값이 되는 것을 알 수 있다.

(2) $\displaystyle b_n=\frac2{a_n}$이므로, 만일 $\displaystyle a_n<\sqrt2$이면 $\displaystyle b_n>\sqrt2$가 되고, $\displaystyle a_n>\sqrt2$이면 $\displaystyle b_n<\sqrt2$가 된다. 이로부터 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$은 각각 $\displaystyle \sqrt2$를 중심으로 반대편에 있음을 알 수 있다. 한편, $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2$이므로, $\displaystyle a_{n+1}$은 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$의 사이에 위치함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle n$이 증가할수록 $\displaystyle \sqrt2$에 가까워짐을 알 수 있다.

(3) 위의 (1), (2)번의 논의과정을 참고할 때, $\displaystyle \sqrt2$의 역할은 $\displaystyle b_n=\frac2{a_n}$의 2이므로 $\displaystyle b_n=\frac7{a_n}$이 필요하다. 또한, $\displaystyle b_n=\frac7{a_n}$으로부터 $\displaystyle \sqrt7$는 항상 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle b_n$ 사이에 있으며 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2$를 적용하면 $\displaystyle a_n$이 $\displaystyle \sqrt7$로 점점 가까워짐을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \sqrt7$을 구하는 데 필요한 수열은 다음과 같이 구성된다.$\displaystyle a_1=1,\quad b_n=\frac7{a_n},\quad a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2,\quad n=1,2,3,\cdots$