자연계열 3번

(1) 함수 $\displaystyle f$가 일대일 함수임을 보이려면 서로 다른 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$를 보이면 된다.만약에 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 서로 다른 실수라면 일반성을 잃지 않으면서 $\displaystyle a<b$라고 가정할 수 있다. 그러면 함수 $\displaystyle f$는 주어진 조건에 의하여 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능이다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)$를 만족하는 적당한 실수 c를 찾을 수 있다.위 등식의 우변에서 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 서로 다른 실수이므로 $\displaystyle b-a\ne0$가 나오고, 주어진 조건에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(c)\ne0$이다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(c)(b-a)\ne0$이고 $\displaystyle f(b)-f(a)\ne0$이다. 그러므로 함수 $\displaystyle f$는 일대일 함수이다.

(2) (1)의 결과와 제시문 [나] ①에 의하여 $\displaystyle f$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}$도 연속함수이고 $\displaystyle \gamma=f^{-1}(\beta+h)$로 나타낼 수 있다. 그러므로 $\displaystyle h$가 0으로 수렴하면 연속성에 의하여 $\displaystyle f^{-1}(\beta+h)$는 $\displaystyle f^{-1}(\beta)=\alpha$로 수렴한다.

(3) $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(\beta)=\lim_{h\to0}\frac{f^{-1}(\beta+h)-f^{-1}(\beta)}h=\lim_{\gamma\to\alpha}\frac{\gamma-\alpha}{f(\gamma)-f(\alpha)}=\lim_{\gamma\to\alpha}\frac1{\frac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}}=\frac1{\lim_{\gamma\to\alpha}\frac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}}=\frac1{f^{\prime}(\alpha)}$이므로 역함수 $\displaystyle f^{-1}$는 $\displaystyle \beta$에서 미분가능이고 $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(\beta)=\frac1{f^{\prime}(\alpha)}$가 성립한다.