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자연계열 3번

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이화여대 2012학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2012mo/jayeon_3

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문제

[가] (평균치 정리) 두 실수 a,b\displaystyle a,b가 a<b\displaystyle a<b를 만족할 때, 함수 f\displaystyle f가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면, f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)를 만족하는 적당한 점 c\displaystyle c가 (a,b)\displaystyle (a,b) 안에 존재한다.

[나] 함수 f\displaystyle f가 실수 전체에서 연속인 일대일 함수이면 다음 성질을 만족한다.① 함수 f\displaystyle f의 치역을 정의역으로 갖는 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}가 존재하고, f−1\displaystyle f^{-1}도 역시 연속함수이다.② 임의의 점 α\displaystyle \alpha에 대하여 f(α)=β\displaystyle f(\alpha)=\beta라고 하자. β\displaystyle \beta에 대하여 h\displaystyle h가 충분히 작은 실수이면, β+h=f(γ)\displaystyle \beta+h=f(\gamma)를 만족하는 점 γ\displaystyle \gamma를 유일하게 찾을 수 있다.

함수 f\displaystyle f가 임의의 실수 x\displaystyle x에 대하여 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0을 만족할 때, 위 제시문을 이용하여 다음 물음에 답하시오. [25점]

(1) 함수 f\displaystyle f가 일대일 함수임을 보이시오.

(2) α,β,h,γ\displaystyle \alpha,\beta,h,\gamma가 제시문 [나] ②에서 주어진 것과 같을 때, h\displaystyle h가 0으로 수렴하면 γ\displaystyle \gamma가 α\displaystyle \alpha로 수렴함을 설명하시오.

(3) α,β\displaystyle \alpha,\beta가 제시문 [나] ②에서 주어진 것과 같을 때, 함수 f\displaystyle f의 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}가 β\displaystyle \beta에서 미분가능함을 보이고, 다음의 등식을 유도하시오.(f−1)′(β)=1f′(α)\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(\beta)=\frac1{f^{\prime}(\alpha)}

해설강의 준비중

이화여대 2012학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/ewha/2012mo/jayeon_3

(1) 함수 f\displaystyle f가 일대일 함수임을 보이려면 서로 다른 두 실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 f(a)≠f(b)\displaystyle f(a)\ne f(b)를 보이면 된다.만약에 a\displaystyle a와 b\displaystyle b가 서로 다른 실수라면 일반성을 잃지 않으면서 a<b\displaystyle a<b라고 가정할 수 있다. 그러면 함수 f\displaystyle f는 주어진 조건에 의하여 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능이다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)를 만족하는 적당한 실수 c를 찾을 수 있다.위 등식의 우변에서 a\displaystyle a와 b\displaystyle b가 서로 다른 실수이므로 b−a≠0\displaystyle b-a\ne0가 나오고, 주어진 조건에 의하여 f′(c)≠0\displaystyle f^{\prime}(c)\ne0이다. 따라서 f′(c)(b−a)≠0\displaystyle f^{\prime}(c)(b-a)\ne0이고 f(b)−f(a)≠0\displaystyle f(b)-f(a)\ne0이다. 그러므로 함수 f\displaystyle f는 일대일 함수이다.

(2) (1)의 결과와 제시문 [나] ①에 의하여 f\displaystyle f의 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}도 연속함수이고 γ=f−1(β+h)\displaystyle \gamma=f^{-1}(\beta+h)로 나타낼 수 있다. 그러므로 h\displaystyle h가 0으로 수렴하면 연속성에 의하여 f−1(β+h)\displaystyle f^{-1}(\beta+h)는 f−1(β)=α\displaystyle f^{-1}(\beta)=\alpha로 수렴한다.

(3) (f−1)′(β)=lim⁡h→0f−1(β+h)−f−1(β)h=lim⁡γ→αγ−αf(γ)−f(α)=lim⁡γ→α1f(γ)−f(α)γ−α=1lim⁡γ→αf(γ)−f(α)γ−α=1f′(α)\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(\beta)=\lim_{h\to0}\frac{f^{-1}(\beta+h)-f^{-1}(\beta)}h=\lim_{\gamma\to\alpha}\frac{\gamma-\alpha}{f(\gamma)-f(\alpha)}=\lim_{\gamma\to\alpha}\frac1{\frac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}}=\frac1{\lim_{\gamma\to\alpha}\frac{f(\gamma)-f(\alpha)}{\gamma-\alpha}}=\frac1{f^{\prime}(\alpha)}이므로 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}는 β\displaystyle \beta에서 미분가능이고 (f−1)′(β)=1f′(α)\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(\beta)=\frac1{f^{\prime}(\alpha)}가 성립한다.

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