자연계열 1번

(1) $\displaystyle f(n)\le n$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$이 존재한다고 가정하자.조건 (A)로부터 $\displaystyle f(n-1)<f(n)\le n$이 되고, 공역이 자연수이므로 $\displaystyle f(n-1)\le n-1$을 얻게 된다.마찬가지로 모든 $\displaystyle k\le n$인 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(k)\le k$가 성립함을 알 수 있다.이 때, $\displaystyle 1\le n$이므로 $\displaystyle f(1)\le 1$이 성립하는데 공역이 자연수이므로 $\displaystyle f(1)=1$이어야 한다.이것을 조건 (B)와 함께 활용하면$\displaystyle \begin{aligned} f(2)&=f(1+f(1))=f(1)+1+1=3 \\ f(3)&=f(2+f(1))=f(2)+1+1=5 \\ f(4)&=f(1+f(2))=f(1)+2+1=4 \end{aligned}$를 얻게 된다.여기서 $\displaystyle f(3)\ge f(4)$는 조건 (A)에 위배되어 모순이다.따라서, $\displaystyle f(n)\le n$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 존재할 수 없다.

(2) $\displaystyle f(1)=t$라 하면 공역이 자연수이므로 $\displaystyle t$도 자연수이다.조건 (B)를 이용하면$\displaystyle f(1+t)=f(1+f(1))=f(1)+1+1=t+2$가 된다.한편, 위 (1)의 결과로부터 $\displaystyle t=f(1)>1$이므로 $\displaystyle 1<t<t+1$이 된다.여기서 조건 (A)와 앞선 결과를 활용하면$\displaystyle t=f(1)<f(t)<f(t+1)=t+2$가 되어, $\displaystyle f(t)=t+1$임을 알 수 있다.또한, 조건 (A)와 (B)를 적용하면,$\displaystyle f(1)+1+1=f(1+f(1))=f(1+t)\ge f(t)+1\ge\cdots\ge f(1)+t$가 성립한다.따라서 $\displaystyle f(1)=t\le 2$이다.한편, $\displaystyle f(1)>1$이므로 $\displaystyle f(1)=2$이다.이것을 앞에서 얻은 결과 $\displaystyle f(t)=t+1$에 적용하면 $\displaystyle f(2)=3$임을 알 수 있다.조건 (B)를 적용하면, 임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(k+2)=f(k+f(1))=f(k)+2$를 얻게 된다.위의 세 결과 $\displaystyle f(1)=2$, $\displaystyle f(2)=3$, $\displaystyle f(k+2)=f(k)+2$를 적용하면, $\displaystyle f(k)=k+1$이 성립함을 알 수 있다.