자연계열 3번

(1) 주어진 구간에서의 굴렁쇠선의 길이는 $\displaystyle L_a=\int_0^{2\pi}\sqrt{(1-a\cos t)^2+(a\sin t)^2}\,dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{1-2a\cos t+a^2}\,dt$가 된다.

i. $\displaystyle a=0,\ L_0=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi$가 되고,

ii. $\displaystyle a=1,\ L_1=\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt=2\int_0^{2\pi}\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\,dt=2\int_0^{2\pi}\left|\sin\frac t2\right|\,dt=\left.-4\cos\frac t2\right|_0^{2\pi}=8$이 된다.

iii. $\displaystyle 0\le a\le1,\ (1-a)+2a\sin\frac t2\ge0$이므로 위 부등식의 좌우 피적분함수를 제곱하여 차를 비교하면,$\displaystyle \begin{aligned}&\left[(1-a)+2a\sin\frac t2\right]^2-\left[1-2a\cos t+a^2\right]\\&=1-2a+a^2+4a(1-a)\sin\frac t2+4a^2\sin^2\frac t2-1+2a\cos t-a^2\\&=2a\left[2(1-a)\sin\frac t2+2a\sin^2\frac t2+\cos t-1\right]=2a\left(2\sin\frac t2\right)\left[(1-a)+a\sin\frac t2-\sin\frac t2\right]\\&=2a\left(2\sin\frac t2\right)(1-a)\left(1-\sin\frac t2\right)\ge0\end{aligned}$ 임을 알 수 있다.

따라서, $\displaystyle L_a\le\int_0^{2\pi}\left((1-a)+2a\sin\frac t2\right)dt=(1-a)\int_0^{2\pi}1\,dt+2a\int_0^{2\pi}\sin\frac t2\,dt=2\pi(1-a)+8a$이 성립한다.

(2) 제시된 조건으로부터 $\displaystyle \begin{aligned}\overline{x_kx_{k+1}}&=\frac{2\pi}n-a(\sin t_{k+1}-\sin t_k)=\frac{2\pi}n-a\left[\sin t_k\left(\cos\frac{2\pi}n-1\right)+\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right]\\&=\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\end{aligned}$을 얻게 된다.

따라서, 해당 직사각형의 면적은 $\displaystyle S_k=(1-a\cos t_k)\left(\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)$이고,

면적 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}S_k&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}(1-a\cos t_k)\left(\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}(1-a\cos t_k)\left(1+2a\sin t_k\frac n{2\pi}\sin^2\frac\pi n-a\frac n{2\pi}\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)\frac{2\pi}n\end{aligned}$로 표현된다. 여기서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2\pi}\sin^2\frac\pi n=0,\quad\lim_{n\to\infty}\frac n{2\pi}\sin\frac{2\pi}n=1$이므로,

구하려는 면적은 $\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}S_k=\int_0^{2\pi}(1-a\cos t)(1-a\cos t)\,dt=2\pi\left(1+\frac{a^2}2\right)$이 된다.