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자연계열 3번

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이화여대 2013학년도 모의 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/ewha/2013mo/jayeon_3

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문제

시간 t=0\displaystyle t=0에서 t=2π\displaystyle t=2\pi까지, 반지름 1\displaystyle 1인 바퀴가 아래 그림과 같이 x\displaystyle x축의 양의 방향으로 속도 1\displaystyle 1을 유지하며 이동하고 있다. 바퀴의 중심에서 a (0≤a≤1)\displaystyle a\,(0\le a\le1)만큼 떨어진 점 P\displaystyle P가 시간에 따라 움직이는 자취를 굴렁쇠선(Cycloid) {x=t−asin⁡ty=1−acos⁡t\displaystyle \begin{cases} x=t-a\sin t \\ y=1-a\cos t \end{cases}으로 표시가능하다고 할 때, 아래 물음에 답하시오.

굴렁쇠선 그래프. 반지름 1인 원 다섯 개가 x축을 따라 굴러가고, 각 원 안의 점 P가 t=0.0π, 0.5π, 1.0π, 1.5π, 2.0π에서 찍혀 물결 모양의 자취를 이룬다. 세로축은 0부터 2까지다.

(1) 0\displaystyle 0과 1\displaystyle 1 사이의 임의의 a\displaystyle a에 대하여 x=0\displaystyle x=0과 x=2π\displaystyle x=2\pi 사이에서 굴렁쇠선의 길이는 La=∫02π(x′(t))2+(y′(t))2 dt\displaystyle L_{a}=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(x^{\prime}(t))^{2}+(y^{\prime}(t))^{2}}\,dt로 표시가능하다. 길이 L0\displaystyle L_{0}와 길이 L1\displaystyle L_{1}을 구하고, La≤∫02π{(1−a)+2asin⁡t2}dt=2π(1−a)+8a\displaystyle L_{a}\le\int_{0}^{2\pi}\left\{(1-a)+2a\sin\frac{t}{2}\right\}dt=2\pi(1-a)+8a임을 보이시오. [20점]

(2) x=0\displaystyle x=0과 x=2π\displaystyle x=2\pi 사이에서 굴렁쇠선과 x\displaystyle x축이 이루는 면적 S\displaystyle S를 구하고자 한다. 구간 [0,2π]\displaystyle [0,2\pi]를 균일한 n\displaystyle n개의 구간으로 나누었을 때, 시간 tk=2kπn\displaystyle t_{k}=\frac{2k\pi}{n}, k=0,⋯ ,n\displaystyle k=0,\cdots,n에서의 점의 위치를 Pk=(xk,yk)\displaystyle P_{k}=(x_{k},y_{k})라 하자. 구분구적법에 따라 xkxk+1‾\displaystyle \overline{x_{k}x_{k+1}}를 밑변으로 하고 yk\displaystyle y_{k}를 높이로 하는 직사각형의 면적 Sk\displaystyle S_{k}를 이용하여 면적 S\displaystyle S를 정적분으로 표시하고, 정적분의 값 S\displaystyle S를 계산하시오. [20점]

논술 사이클로이드

관련 개념강의 준비중

논술 매개변수로 나타낸 곡선의 넓이

관련 개념강의 준비중

이화여대 2013학년도 모의 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/ewha/2013mo/jayeon_3

(1) 주어진 구간에서의 굴렁쇠선의 길이는 La=∫02π(1−acos⁡t)2+(asin⁡t)2 dt=∫02π1−2acos⁡t+a2 dt\displaystyle L_a=\int_0^{2\pi}\sqrt{(1-a\cos t)^2+(a\sin t)^2}\,dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{1-2a\cos t+a^2}\,dt가 된다.

i. a=0, L0=∫02π1 dt=2π\displaystyle a=0,\ L_0=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi가 되고,

ii. a=1, L1=∫02π2−2cos⁡t dt=2∫02π1−cos⁡t2 dt=2∫02π∣sin⁡t2∣ dt=−4cos⁡t2∣02π=8\displaystyle a=1,\ L_1=\int_0^{2\pi}\sqrt{2-2\cos t}\,dt=2\int_0^{2\pi}\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}\,dt=2\int_0^{2\pi}\left|\sin\frac t2\right|\,dt=\left.-4\cos\frac t2\right|_0^{2\pi}=8이 된다.

iii. 0≤a≤1, (1−a)+2asin⁡t2≥0\displaystyle 0\le a\le1,\ (1-a)+2a\sin\frac t2\ge0이므로 위 부등식의 좌우 피적분함수를 제곱하여 차를 비교하면,[(1−a)+2asin⁡t2]2−[1−2acos⁡t+a2]=1−2a+a2+4a(1−a)sin⁡t2+4a2sin⁡2t2−1+2acos⁡t−a2=2a[2(1−a)sin⁡t2+2asin⁡2t2+cos⁡t−1]=2a(2sin⁡t2)[(1−a)+asin⁡t2−sin⁡t2]=2a(2sin⁡t2)(1−a)(1−sin⁡t2)≥0\displaystyle \begin{aligned}&\left[(1-a)+2a\sin\frac t2\right]^2-\left[1-2a\cos t+a^2\right]\\&=1-2a+a^2+4a(1-a)\sin\frac t2+4a^2\sin^2\frac t2-1+2a\cos t-a^2\\&=2a\left[2(1-a)\sin\frac t2+2a\sin^2\frac t2+\cos t-1\right]=2a\left(2\sin\frac t2\right)\left[(1-a)+a\sin\frac t2-\sin\frac t2\right]\\&=2a\left(2\sin\frac t2\right)(1-a)\left(1-\sin\frac t2\right)\ge0\end{aligned} 임을 알 수 있다.

따라서, La≤∫02π((1−a)+2asin⁡t2)dt=(1−a)∫02π1 dt+2a∫02πsin⁡t2 dt=2π(1−a)+8a\displaystyle L_a\le\int_0^{2\pi}\left((1-a)+2a\sin\frac t2\right)dt=(1-a)\int_0^{2\pi}1\,dt+2a\int_0^{2\pi}\sin\frac t2\,dt=2\pi(1-a)+8a이 성립한다.

(2) 제시된 조건으로부터 xkxk+1‾=2πn−a(sin⁡tk+1−sin⁡tk)=2πn−a[sin⁡tk(cos⁡2πn−1)+sin⁡2πncos⁡tk]=2πn+2asin⁡tksin⁡2πn−asin⁡2πncos⁡tk\displaystyle \begin{aligned}\overline{x_kx_{k+1}}&=\frac{2\pi}n-a(\sin t_{k+1}-\sin t_k)=\frac{2\pi}n-a\left[\sin t_k\left(\cos\frac{2\pi}n-1\right)+\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right]\\&=\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\end{aligned}을 얻게 된다.

따라서, 해당 직사각형의 면적은 Sk=(1−acos⁡tk)(2πn+2asin⁡tksin⁡2πn−asin⁡2πncos⁡tk)\displaystyle S_k=(1-a\cos t_k)\left(\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)이고,

면적 S\displaystyle S는S=lim⁡n→∞∑k=0n−1Sk=lim⁡n→∞∑k=0n−1(1−acos⁡tk)(2πn+2asin⁡tksin⁡2πn−asin⁡2πncos⁡tk)=lim⁡n→∞∑k=0n 1(1−acos⁡tk)(1+2asin⁡tkn2πsin⁡2πn−an2πsin⁡2πncos⁡tk)2πn\displaystyle \begin{aligned}S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}S_k&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}(1-a\cos t_k)\left(\frac{2\pi}n+2a\sin t_k\sin^2\frac\pi n-a\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n\ 1}(1-a\cos t_k)\left(1+2a\sin t_k\frac n{2\pi}\sin^2\frac\pi n-a\frac n{2\pi}\sin\frac{2\pi}n\cos t_k\right)\frac{2\pi}n\end{aligned}Correction. 둘째 줄 합 기호의 상한은 n\displaystyle n과 1\displaystyle 1 사이의 빼기 부호가 빠진 오기이다. 바로 앞줄과 같이 상한을 n−1\displaystyle n-1로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로 표현된다. 여기서 lim⁡n→∞n2πsin⁡2πn=0,lim⁡n→∞n2πsin⁡2πn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac n{2\pi}\sin^2\frac\pi n=0,\quad\lim_{n\to\infty}\frac n{2\pi}\sin\frac{2\pi}n=1이므로,

구하려는 면적은 S=lim⁡n→∞∑k=0n−1Sk=∫02π(1−acos⁡t)(1−acos⁡t) dt=2π(1+a22)\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}S_k=\int_0^{2\pi}(1-a\cos t)(1-a\cos t)\,dt=2\pi\left(1+\frac{a^2}2\right)이 된다.

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