수리논술, 이게 다다.이화여대 2013학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2013su/jayeon_1
문제
우리나라에서 가장 인기 있는 로또는 1부터 45까지 숫자 중에서 서로 다른 6개를 맞추는 게임이다. 로또를 구매할 때, 자신이 직접 6개를 선택할 수도 있고 판매기계가 임의로 6개를 대신 선택하여 주기도 한다. 매주 토요일 밤에 시행되는 로또 추첨에서는 1부터 45까지의 서로 다른 숫자 6개를 당첨번호로 임의추출하는데, 1등에 당첨되기 위해서는 선택한 숫자들이 당첨번호와 모두 일치해야 한다.
요즘 많은 로또 관련 사이트나 서적들은 로또 당첨확률을 높이는 기법들을 소개하고 있다. 예를 들어, 모두 홀수나 모두 짝수를 선택하는 것보다 홀짝을 적당히 섞는 것이 좋다, 또는 선택한 6개의 숫자의 총합이 100에서 180 정도가 되면 뽑힐 확률이 높다, 또는 토요일에 로또를 구입하면 다른 요일보다 1등할 확률이 높다 등등 여러 가지 요령을 소개하고 있다. 로또추첨에서 6개의 숫자를 고르는 것이 완전히 임의추출이고 매회 추첨이 서로 독립이라고 가정할 때 당첨확률에 관한 다음 물음에 답하시오. [30점]
(1) 1등 당첨번호가 모두 홀수 번호에서 나올 확률과 3개의 홀수 번호와 3개의 짝수 번호에서 나올 확률 중 어느 쪽이 더 높을 지를 설명하시오.
(2) 1등 당첨번호 6개의 총합이 23인 경우의 확률과 255인 경우의 확률 중 어느 쪽이 더 높을 지를 설명하시오.
(3) 로또를 2장 구입한 경우, 첫 번째 로또 숫자의 합은 23이었고 두 번째 로또 숫자의 합은 255이었다. 이 2장의 로또 중 어느 것이 당첨될 확률이 높을 지를 설명하시오.
(4) 이제까지의 당첨자들을 분석했더니 실제로 1등 당첨자 중에 토요일에 구입한 사람들이 가장 많았다. 그 이유가 정말로 토요일에 로또를 1장 구입하는 것이 다른 요일에 1장 구입하는 것에 비해 당첨확률이 높기 때문인지, 그렇지 않다면 왜 이런 현상이 나타나는지를 설명하시오. (단, 논의를 단순화하기 위하여 모든 로또 구입자들의 번호선택은 임의(무작위)였다고 가정하자.)
(5) 이제까지 1등 당첨번호를 분석한 결과, 22와 38이 다른 숫자에 비해서 1등 당첨번호에 속하는 경우가 상당히 적었다. 김이화는 “모든 숫자가 뽑힐 확률이 똑같아야 하므로, 이번에 구입할 로또는 6개의 숫자 중에 22와 38을 꼭 포함하는 것이 1등에 당첨될 확률이 더 높아질 거야.”라고 생각했다. 김이화의 이런 전략은 정말로 1등에 당첨될 확률을 높일 수 있을지 설명하시오.
이화여대 2013학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ewha/2013su/jayeon_1
(1) 모두 홀수번호를 선택하는 경우의 당첨확률은 이고, 홀수와 짝수가 각각 3개인 경우는 이다. 따라서 1등 당첨번호가 홀짝 반반인 경우에서 나올 확률이 더 높다.
(2) 경우의 수를 생각해보면 합이 23이 되는 경우는 두 가지 경우가 있고, 합이 255가 되는 경우는 한 가지 경우 밖에 없다. 그러므로 당첨번호의 합이 23이 되는 경우의 확률이 합이 255인 경우의 2배이므로 더 높다.
(3) 이미 복권을 구입하게 되면 6개의 숫자가 결정되게 되고, 임의의 6개의 숫자로 이루어진 조합이 뽑힐 확률은 각각 로 똑같다.
(4) 토요일의 당첨 확률이 특별히 높지는 않다. 이런 일이 일어나는 가장 합리적인 설명은 토요일에 팔린 로또의 수가 가장 많기 때문이다. (참고로 실제 토요일 로또 판매량은 약 42%로 한 주 중 가장 많다.)
(5) 이런 전략으로도 1등에 당첨될 확률을 높일 수는 없다. 매회 추첨이 서로 독립이라고 가정했으므로, 전회에서 어떤 번호가 뽑혔는지가 이번 회에 어떤 번호가 뽑히는지에 영향을 미칠 수 없다.
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