자연계열 3번

(1) 아래 표와 같이 사용량 구간의 상한, 하한 값을 각각 1.5배로 하고 구간별 단가를 같게 유지하면, 누구나 1.5배 사용에 1.5배 요금이 부과된다.

(2) $\displaystyle f(x)$는 근사적으로 $\displaystyle x(500-x)$에 비례하므로 근사식을$\displaystyle f(x)=kx(500-x)$ ($\displaystyle k$는상수)로 둘 수 있다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 정의에 의해 $\displaystyle \int_0^{500}f(x)\,dx=\int_0^{500}kx(500-x)\,dx=1$이므로 $\displaystyle k=\frac6{500^3}$이다.전체 가구 중 월 사용량에 따라 차지하는 비율을 100(kWh) 단위로 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{100}f(x)\,dx&=\int_0^{100}kx(500-x)\,dx=\frac{13}6\times100^3\times\frac6{500^3}=\frac{104}{10^3}\\\int_{100}^{200}f(x)\,dx&=\int_{100}^{200}kx(500-x)\,dx=\frac{31}6\times100^3\times\frac6{500^3}=\frac{248}{10^3}\\\int_{200}^{300}f(x)\,dx&=\int_{200}^{300}kx(500-x)\,dx=\frac{37}6\times100^3\times\frac6{500^3}=\frac{296}{10^3}\\\int_{300}^{400}f(x)\,dx&=\int_{300}^{400}kx(500-x)\,dx=\frac{31}6\times100^3\times\frac6{500^3}=\frac{248}{10^3}\\\int_{400}^{500}f(x)\,dx&=\int_{400}^{500}kx(500-x)\,dx=\frac{13}6\times100^3\times\frac6{500^3}=\frac{104}{10^3}\end{aligned}$이므로 월 사용량에 따라 차지하는 비율을 근사식에 의해 구하면 다음표와 같다.

2011년도 실제 자료와 비교하여 구간별 비율의 대소를 비교하면 다음과 같다.

(3) 100(kWh)에 대한 단가와 300(kWh)에 대한 단가가 2배가 되려면$\displaystyle 2(a+100b)=a+300b$, 즉 $\displaystyle a=100b$를 만족하여야 한다. 또한 전체 전기요금이 같기 위한 조건은$\displaystyle \int_0^{500}\left(\frac25x^2\right)x(500-x)\,dx=\int_0^{500}\left(ax+\frac b2x^2\right)x(500-x)\,dx$이므로$\displaystyle \Biggl[200\frac{x^4}4-\frac25\frac{x^5}5\Biggr]_0^{500}=\Biggl[500a\frac{x^3}3+\left(500\frac b2-a\right)\frac{x^4}4-\frac b2\frac{x^5}5\Biggr]_0^{500}$이다. $\displaystyle a=100b$를 대입하여 정리하면$\displaystyle 500^4\left[50-\frac2{25}500\right]=500^4\left[\frac{100}3+\left(\frac{500}2-100\right)\frac14-\frac12\frac{500}5\right]b$이므로 $\displaystyle a=48,\ b=\frac{12}{25}$이다.

따라서 새 요금제에서 납부요금이 저렴한 구간은 $\displaystyle \frac25x^2>48x+\frac6{25}x^2$, 즉 $\displaystyle \frac2{25}x(2x-600)>0$이므로 월 사용량이 300(kWh)을 초과하는 가구가 혜택을 얻게 된다.