자연계열 2번

(1) 주어진 조건으로부터 적당한 상수 $\displaystyle c$가 존재해서 다음을 만족한다.

$\displaystyle \overline{PR}+\overline{PQ}=c$

점 $\displaystyle P,\ Q,\ R$의 좌표를 적용하면

$\displaystyle c=\overline{PR}+\overline{PQ}=\sqrt{x^2+(f(x)-a)^2}+(k-f(x))$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle x^2+(f(x)-a)^2=(c-k+f(x))^2$이 성립하므로 양변을 전개하면

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+a^2-(c-k)^2}{2(c-k+a)}$을 얻는다.

또한, 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프가 원점을 지나므로 상수 $\displaystyle c$는 다음을 만족한다.

$\displaystyle c=\overline{PR}+\overline{PQ}=a+k$

따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)=\frac{x^2}{4a}$이 된다.

한편, 함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x$축과 직선 $\displaystyle y=k$ 사이에 존재하므로 $\displaystyle \frac{x^2}{4a}\le k$를 만족해야 한다.

따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 정의구역은 $\displaystyle -2\sqrt{ak}\le x\le2\sqrt{ak}$가 된다.

(2) 점 $\displaystyle P$의 좌표가 $\displaystyle (x,\frac{x^2}{4a}),\ (-2\sqrt{ak}\le x\le2\sqrt{ak})$이므로 $\displaystyle \overline{PQ}=k-\frac{x^2}{4a}$이 된다.

한편, $\displaystyle \overline{PQ}+\overline{PR}=a+k$로 일정하므로 $\displaystyle \overline{PR}=a+\frac{x^2}{4a}$이 된다.

따라서 $\displaystyle L=\overline{PQ}\cdot\overline{PR}=(a+\frac{x^2}{4a})(k-\frac{x^2}{4a})$이라 하면,

$\displaystyle 0=L^{\prime}=\frac{x}{2a}(k-\frac{x^2}{4a})-\frac{x}{2a}(a+\frac{x^2}{4a})=\frac{x}{2a}(k-a-\frac{x^2}{2a})$이므로,

$\displaystyle L$은 $\displaystyle x=0,\ \pm\sqrt{2a(k-a)}$에서 극값 $\displaystyle L=ak,\ (a+k)^2/4$를 갖는다.

한편, 양 끝점 $\displaystyle x=\pm2\sqrt{ak}$에서 $\displaystyle L=0$이므로 $\displaystyle L$의 최댓값은 $\displaystyle L=(a+k)^2/4$이다.

(3) 선분 $\displaystyle \overline{PQ}$는 $\displaystyle y$축과 평행이고 점 $\displaystyle P$의 좌표가 $\displaystyle (x,\frac{x^2}{4a}),\ (-2\sqrt{ak}\le x\le2\sqrt{ak})$이므로

삼각형 $\displaystyle \triangle PQR$의 면적은 $\displaystyle S=\frac12|x|(k-y)=\frac12|x|(k-\frac{x^2}{4a}),\ (-2\sqrt{ak}\le x\le2\sqrt{ak})$로 주어진다.

여기서 식 $\displaystyle S$는 $\displaystyle y$축에 대해서 대칭이므로 $\displaystyle 0\le x\le2\sqrt{ak}$에서의 $\displaystyle S$의 최댓값을 구하면 충분하다.

$\displaystyle 0=S^{\prime}=\frac12(k-\frac{x^2}{4a})-\frac{x^2}{4a}=\frac k2-\frac{3x^2}{8a},\ x\ge0$이므로,

삼각형 $\displaystyle \triangle PQR$의 면적은 $\displaystyle x=2\sqrt{\frac{ak}3}$에서 극값 $\displaystyle S=\frac{2k}3\sqrt{\frac{ak}3}$를 갖고,

$\displaystyle x=0$일 때, $\displaystyle S=0$이다.

$\displaystyle S$는 $\displaystyle y$축에 대해서 대칭이므로 $\displaystyle x=-2\sqrt{\frac{ak}3}$에서 극값 $\displaystyle S=\frac{2k}3\sqrt{\frac{ak}3}$를 갖는다.

양 끝점 $\displaystyle x=\pm2\sqrt{ak}$일 때, $\displaystyle S=0$이므로 삼각형 $\displaystyle \triangle PQR$ 면적의 최댓값은 $\displaystyle S=\frac{2k}3\sqrt{\frac{ak}3}$이다.