자연계열 3번

(1) 원점 $\displaystyle (0,0)$에서 4번 시행하여 $\displaystyle (1,3)$에 도달 하려면 우 1회, 상 3회 선택하여 시행한 경우뿐임을 알 수 있다.

중복을 허락하는 순열에 따라 우 1회, 상 3회로 $\displaystyle (1,3)$에 도달하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{4!}{1!\,3!}={}_{4}\mathrm{C}_{3}=4$로 주어진다.

이 때 각 시행이 독립이므로 각각의 경우의 확률은 $\displaystyle \frac13\times\left(\frac16\right)^3$로 구해진다.

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle {}_{4}\mathrm{C}_{3}\frac13\times\left(\frac16\right)^3$(또는 $\displaystyle \frac1{162}$)이다.

(2) 조건을 만족하는 점들은 $\displaystyle (k,n-k),\ k=0,1,\ldots,n$으로 구해지며, 이들 점들이 $\displaystyle k+(n-k)=n$을 만족하므로,

이 점들에 $\displaystyle n$번 시행한 후 도달하기 위해서는 각각의 시행이 좌 또는 하를 제외한 우와 상 중 한 가지를 선택하여 시행하여야 한다.

이제 한 점 $\displaystyle (k,n-k)$를 생각하면, 우 $\displaystyle k$회, 상 $\displaystyle n-k$회 선택하여 시행하는 경우이며,

중복을 허락하는 순열에 따라 이점에 $\displaystyle n$번 시행 후 도달하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}={}_{n}\mathrm{C}_{k}$이다.

그리고 각 시행이 독립이므로 이들 각각 경우의 확률은 $\displaystyle p^kq^{n-k}$로 주어진다.

따라서 $\displaystyle (k,n-k)$에 도달하는 확률은 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}p^kq^{n-k}$이다.

이들 점들에 주어진 확률을 모두 합하고 이항정리를 활용하면 $\displaystyle \sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}p^kq^{n-k}=(p+q)^n$로 답을 얻는다.

(또는 $\displaystyle p+q=\frac12$이므로 $\displaystyle (p+q)^n=\left(\frac12\right)^n$을 얻는다)

(3) $\displaystyle n$번 시행하여 도달한 $\displaystyle P(k,l)$점들은 모두 부등식 $\displaystyle |k|+|l|\le n$을 만족하므로 부등식 $\displaystyle |k|+|l|<n$을 만족하는 점들은 등식 $\displaystyle |k|+|l|=n$을 만족하는 점들의 여집합이다. 등식 $\displaystyle |k|+|l|=n$을 만족할 확률을 먼저 구하기 위하여,등식 $\displaystyle |k|+|l|=n$을 만족하는 $\displaystyle (k,l)$을 $\displaystyle (k\ge0,l\ge0),\ (k\le0,l\ge0),\ (k\ge0,l\le0),\ (k\le0,l\le0)$ 네 가지 경우로 구별한다. 이제 (2)와 같은 방법으로 우상변 $\displaystyle (k\ge0,l\ge0)$ 이외의 다른 3변의 확률도 각각 $\displaystyle (p+q)^n$이다.여기서, 앞의 네 가지 경우로 구별할 때 네 점 $\displaystyle (n,0),\ (-n,0),\ (0,n),\ (0,-n)$이 두 번씩 나타남에 유의한다.이들 중복되는 네 점 $\displaystyle (n,0),\ (-n,0),\ (0,n),\ (0,-n)$에 관한 확률은 각각 $\displaystyle q^n,\ q^n,\ p^n,\ p^n$이다.Correction. 네 점에 대응하는 확률 $\displaystyle q^n,q^n,p^n,p^n$은 $\displaystyle p^n,p^n,q^n,q^n$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이제, 등식 $\displaystyle |k|+|l|=n$을 만족하는 $\displaystyle (k,l)$에 도달할 확률은 위 네 가지 경우의 확률의 합에서 중복되는 네 점에 도달하는 확률을 뺀 값이므로, $\displaystyle 4(p+q)^n-2(p^n+q^n)$이다. 따라서 구하는 확률은 등식 $\displaystyle |k|+|l|=n$을 만족하는 점들의 여집합의 확률이므로 $\displaystyle 1-(4(p+q)^n-2(p^n+q^n))$이다.