이화여대 2014학년도 수시 자연계열 1번 해설

다음은 해발고도 $\displaystyle h$ 가 높아질수록 대기압 $\displaystyle P$ 가 낮아지고, 이에 따라 물의 끓는점 $\displaystyle T$ 가 낮아지는 현상을 수학적으로 기술한 것이다. 이에 관하여 다음 물음에 답하시오. [30점] (단, 문제에서 주어진 수치는 계산의 편의를 위하여 실제 측정값을 다소 조정한 것이다.)

(1) 해발고도 $\displaystyle h$ 의 변화에 따른 대기압 $\displaystyle P(h)$ 의 변화비율 $\displaystyle \frac1{P(h)}\frac{dP}{dh}$ 를 $\displaystyle f(h)$ 라 할 때, 대기압 $\displaystyle P(h)$ 를 대기압의 변화비율 $\displaystyle f(h)$ 와 해수면( $\displaystyle h=0$ )에서의 대기압 $\displaystyle P_0=P(0)$ 을 이용하여 구하시오.

(2) 대류권에서 대기압의 변화비율 $\displaystyle f(h)$ 는 $\displaystyle h$ 에 무관하게 거의 일정한 값을 가지는데, 이 값을 상수 $\displaystyle k$ 로 가정하자. 해발고도 $\displaystyle 5,680\,(m)$ 에서의 대기압이 $\displaystyle \frac12P_0$ 라 할 때, 상수 값 $\displaystyle k$ 와 해발고도가 약 $\displaystyle 8,520\,(m)$ 인 히말라야 로체봉에서의 대기압 $\displaystyle P_L$ 을 구하시오.

(3) 압력이 낮아지면 액체의 끓는점도 함께 낮아진다. 물의 경우 $\displaystyle P_0=1$ (기압)일 때 절대온도 $\displaystyle T_0=373\,(K)$ 에서 끓는다. 하지만 압력 $\displaystyle \left(\frac1{30}<P<3\right)$ 이 변화하면 물의 끓는점 $\displaystyle T(P)$ 는 근사적으로 $\displaystyle T(P)=\frac{T_0}{1-a\log P}$ 의 관계를 만족하고, $\displaystyle P=\frac12$ (기압)일 때 $\displaystyle T\left(\frac12\right)=\frac{373}{1.05}\,(K)$ 에서 끓는다. 어떤 산에 올라가서 물을 가열하였더니 $\displaystyle T_H=\frac{373}{1.0125}\,(K)$ 에서 끓었다고 할 때, 이 지점의 해발고도 $\displaystyle H$ 를 구하시오. (단, log는 상용로그이다.)

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(1) 변화비율에 대한 관계식 $\displaystyle \frac1{P(h)}\frac{dP}{dh}=f(h)$ 의 양변을 $\displaystyle 0$ 부터 $\displaystyle h$ 까지 정적분하면 $\displaystyle \int_0^h\frac1{P(h)}\frac{dp}{dh}\,dh=\ln P(h)-\ln P(0)=\int_0^h f(h)\,dh$ 와 같은 관계식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \ln P(h)=\ln P_0+\int_0^h f(h)\,dh$ 이므로, $\displaystyle P(h)=P_0e^{\int_0^h f(h)\,dh}$ .

(2) $\displaystyle P(h)=P_0e^{\int_0^h k\,dh}=P_0e^{kh}$ 이다. $\displaystyle P(5680)=P_0e^{k\cdot5680}=\frac12P_0$ 이므로, $\displaystyle k=\frac1{5680}\ln\frac12=-\frac{\ln2}{5680}$ 이다.따라서 $\displaystyle P(h)=P_0e^{\frac h{5680}\ln\frac12}=P_0\left(\frac12\right)^{h/5680}$ 이고, $\displaystyle P(8520)=P_0\left(\frac12\right)^{8520/5680}=P_0\left(\frac12\right)^{3/2}=P_0\frac1{2\sqrt2}$ .

(3) $\displaystyle T\left(\frac12\right)=\frac{373}{1-a\log0.5}=\frac{373}{1.05}$ 이므로, $\displaystyle a=\frac{0.05}{\log2}$ ( $\displaystyle =\frac{0.05}{0.3}=\frac16$ )이다. $\displaystyle T(P_H)=\frac{373}{1.0125}=\frac{373}{1-a\log P_H}$ 이므로, $\displaystyle \log P_H=-\frac{0.0125}a=-\frac{0.0125}{0.05}\log2$ ( $\displaystyle =-\frac{0.3}4$ )이고, $\displaystyle P_H=\left(\frac12\right)^{1/4}$ 이다. $\displaystyle P(H)=\left(\frac12\right)^{H/5680}=\left(\frac12\right)^{1/4}$ 이므로 $\displaystyle H=\frac{5680}4=1420\,(m)$ .

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