자연계열 2번

(1) 주어진 실수 $\displaystyle m$을 기울기로 가지는 두 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$으로 주어지며, 평행한 두 직선의 거리는 공식에 의하여$\displaystyle l(m)=\frac{\left|\sqrt{a^2m^2+b^2}-\left(-\sqrt{a^2m^2+b^2}\right)\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2\sqrt{a^2m^2+b^2}}{\sqrt{m^2+1}}$으로 주어진다.

(2) 타원 밖의 점 P 를 $\displaystyle (X,Y)$라고 할 때, 점 P 를 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-X)+Y$로 쓸 수 있다. 이때 기울기 $\displaystyle m$으로 주어진 타원의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$으로 구해지므로 $\displaystyle -mX+Y=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이다. 양변을 제곱하며 좌변에 모아 $\displaystyle m$에 관하여 정리하면$\displaystyle (X^2-a^2)m^2-2XYm+(Y^2-b^2)=0$로 주어지며, 두 접선이 수직하므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해$\displaystyle \frac{Y^2-b^2}{X^2-a^2}=-1\quad(X\ne\pm a)$이다. 따라서 네 점 $\displaystyle (\pm a,\pm b)$을 제외한 원 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2+b^2$위의 점 P 에서 서로 수직한 두 접선을 그을 수 있다. 이때 외부의 네 점 $\displaystyle (\pm a,\pm b)$에서도 수직한 두 접선 $\displaystyle x=\pm a,\ y=\pm b$을 그을 수 있으므로, 수직한 두 접선을 가지는 타원 밖은 점들의 자취는 원의 방정식 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2+b^2$을 만족한다.

(3) 주어진 타원에 외접하는 직사각형은 서로 수직한 기울기를 가지는 평행한 두 쌍의 접선으로 결정됨을 알 수 있다. 따라서 기울기 $\displaystyle m,\ -\frac1m$ ($\displaystyle m\ne0$)에 대하여 외접하는 직사각형의 면적은 기울기 $\displaystyle m$을 가지는 두 평행한 접선의 거리와 기울기 $\displaystyle -\frac1m$을 가지는 두 평행한 접선의 거리의 곱으로 주어지므로, 위의 (1)을 활용하여 직사각형의 면적을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}l(m)\,l\left(\frac1m\right)&=\frac{2\sqrt{a^2m^2+b^2}}{\sqrt{m^2+1}}\frac{2\sqrt{a^2\frac1{m^2}+b^2}}{\sqrt{\frac1{m^2}+1}}=4\sqrt{\frac{a^2b^2\left(m^2+\frac1{m^2}\right)+a^4+b^4}{m^2+\frac1{m^2}+2}}\\&=4\sqrt{a^2b^2+\frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{m^2+\frac1{m^2}+2}}=4\sqrt{a^2b^2+\frac{(a^2-b^2)^2}{m^2+\frac1{m^2}+2}}\end{aligned}$으로 주어지며, $\displaystyle m^2+\frac1{m^2}\ge2$이므로 위의 식은 $\displaystyle m^2+\frac1{m^2}=2$일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle 2(a^2+b^2)$이다. 단, 기울기가 $\displaystyle m=0$으로 주어진 경우 외접 직사각형은 외부의 네 점 $\displaystyle (\pm a,\pm b)$으로 구성되므로 면적은 $\displaystyle 4ab$이며 절대 부등식에 의하여$\displaystyle 2(a^2+b^2)\ge4\sqrt{a^2b^2}=4ab$이므로 모든 기울기에 대하여 최댓값은 $\displaystyle 2(a^2+b^2)$이다.