자연계열 3번

(1) 미적분학의 기본정리에 의해 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 임의의 실수에 대하여 연속이고 미분가능하며 $\displaystyle g^{\prime}(x)=f(x)$로 주어진다. 그러면 조건 1에 의해 $\displaystyle g^{\prime}(x)$는 미분가능하고 $\displaystyle y=g(x)$의 2계 도함수는 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime}(x)$로 주어진다. 그리고 조건 2에 의해 $\displaystyle f(x)$가 증가함수이므로 $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime}(x)\ge0$이다.

(2) $\displaystyle g^{\prime\prime}(x)\ge0$에 의하여 구간 $\displaystyle [0,a]$에서의 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 아래로 볼록이다. 그러므로 두 점 $\displaystyle (0,0)=(0,g(0))$과 $\displaystyle (a,g(a))$을 잇는 직선 $\displaystyle y=\frac{g(a)}a\cdot x$의 그래프는 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프 위쪽에 위치한다.위의 대소관계를 식으로 나타내면 $\displaystyle x\in[0,a]$에 대하여 $\displaystyle g(x)\le\frac{g(a)}a\cdot x$이다.

(3) 부등식 $\displaystyle g(x)\le\frac{g(a)}a\cdot x$에 $\displaystyle [0,a]$에서의 정적분을 적용하면$\displaystyle \int_0^a g(x)\,dx\le\int_0^a\frac{g(a)}a x\,dx=\frac{g(a)}a\int_0^a x\,dx=\frac{g(a)}a\frac12a^2=\frac a2g(a)$을 얻고, $\displaystyle g(a)=\int_0^a f(x)\,dx$이므로 $\displaystyle \int_0^a g(x)\,dx\le\frac a2\int_0^a f(x)\,dx$이다.

(4) $\displaystyle f(c)\ge0$이면 조건 2에 의해 폐구간 $\displaystyle [c,d]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이므로, $\displaystyle f(x)=g^{\prime}(x)\ge0$이고 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle [c,d]$에서 증가함수이다. 그러므로 $\displaystyle x\in[c,d]$에 대하여 $\displaystyle g(c)\le g(x)$가 성립하고$\displaystyle \int_c^d g(c)\,dx=(d-c)g(c)=(d-c)\int_0^c f(x)\,dx\le\int_c^d g(x)\,dx$이다. 그리고 (1)에 의하여 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 폐구간 $\displaystyle [c,d]$위에서 $\displaystyle (c,g(c))$와 $\displaystyle (d,g(d))$를 연결하는 직선 아래에 있다. 그러므로 $\displaystyle x\in[c,d]$에 대하여 $\displaystyle g(x)\le\frac{g(d)-g(c)}{d-c}(x-c)+g(c)$이고 정적분을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_c^d g(x)\,dx&\le\int_c^d\frac{g(d)-g(c)}{d-c}(x-c)+g(c)\,dx=\Biggl[\frac{g(d)-g(c)}{d-c}\left(\frac12x^2-cx\right)+g(c)x\Biggr]_c^d\\&=\frac{g(d)-g(c)}{d-c}\left(\frac12d^2-cd+\frac12c^2\right)+g(c)(d-c)=\frac{d-c}2(g(d)-g(c))+\frac{d-c}22g(c)=\frac{d-c}2(g(c)+g(d))\end{aligned}$이다. 위의 관계식에 $\displaystyle g(c)=\int_0^c f(x)\,dx$와 $\displaystyle g(d)=\int_0^d f(x)\,dx$을 대입하면 보이고자 하는 부등식의 오른쪽 부분을 얻는다.