자연계열 I 2번

1) 수학적 귀납법을 이용한다. $\displaystyle 0\le a_1<1$으로 주어졌고, $\displaystyle 0\le a_n<1$을 만족한다고 하자. 그러면 $\displaystyle 1+a_n<1+1=2$이고 $\displaystyle \frac{1+a_n}2=a_{n+1}^2<1$이 성립하므로 $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt{a_{n+1}^2}<1$이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n<1$이 성립한다.

2) (1)에 의해 $\displaystyle a_n<1$이므로 $\displaystyle 2a_n<a_n+1<2$이고 $\displaystyle a_n<\frac{a_n+1}2=a_{n+1}^2<1$이다. $\displaystyle 0<a_{n+1}<1$이기 때문에 $\displaystyle a_{n+1}^2<a_{n+1}$이 참이어서 $\displaystyle a_n<\frac{a_n+1}2=a_{n+1}^2<a_{n+1}$이 성립한다.

3) 초항 $\displaystyle a_1$이 $\displaystyle \cos\theta$로 주어지면 삼각함수의 반각공식에 의해 $\displaystyle a_2^2=\frac{1+a_1}2=\frac{1+\cos\theta}2=\cos^2\frac\theta2$이고 $\displaystyle a_2=\pm\cos\frac\theta2$이다. 한편 $\displaystyle a_n\ge0$이고 $\displaystyle \theta\in\left[0,\frac\pi2\right]$이므로 $\displaystyle \cos\frac\theta2\ge0$이고 $\displaystyle a_2=\cos\frac\theta2$이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle a_n=\cos\frac\theta{2^{n-1}}$ 이다.

4) $\displaystyle \theta$에 상관없이 $\displaystyle n$이 커지면 $\displaystyle \frac\theta{2^{n-1}}$은 0으로 수렴하고 $\displaystyle a_n=\cos\frac\theta{2^{n-1}}$은 $\displaystyle \cos0=1$로 수렴한다.