자연계열 II 1번

1) 점 $\displaystyle P$가 원 $\displaystyle C$의 내부의 점이므로 $\displaystyle \overline{OP}=\overline{OQ}-\overline{PQ}=1-\overline{PQ}$이다. 점 $\displaystyle P$는 $\displaystyle \overline{AP}-\overline{PQ}=b$를 만족하므로 $\displaystyle \overline{AP}+\overline{OP}=b+1$이 된다. 따라서 점 $\displaystyle P$의 자취는 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle O$를 초점으로 하고 장축의 길이가 $\displaystyle b+1$인 타원 중 원 $\displaystyle C$의 내부에 포함되는 부분이다.

2) 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle O$를 초점으로 하고 장축의 길이가 $\displaystyle b+1$인 타원상의 점 중 점 $\displaystyle O$에서 가장 멀리 떨어진 점 $\displaystyle P_0$는 타원의 중심으로부터 장축의 길이의 절반만큼 떨어진 점이다. 따라서 점 $\displaystyle O$에서 $\displaystyle P_0$까지의 거리는 $\displaystyle \overline{AO}$의 거리의 절반과 장축의 길이의 절반의 합이다. $\displaystyle b\le1-a$이므로$\displaystyle \overline{OP_0}=\frac a2+\frac{b+1}2\le\frac a2+\frac{2-a}2=1$이 되어 타원 전체가 원 $\displaystyle C$의 내부에 포함되는 것을 알 수 있다.

단축의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt{\left(\frac{b+1}2\right)^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{(b+1)^2-a^2}$이므로 자취(타원)로 둘러싸인 면적은 $\displaystyle \frac\pi4(b+1)\sqrt{(b+1)^2-a^2}$이다.

면적이 $\displaystyle b$에 대해 증가함수이므로 주어진 구간 $\displaystyle 0<b\le1-a$에서 $\displaystyle b=1-a$일 때 최대이다. 따라서 면적의 최댓값은 $\displaystyle \frac\pi2(2-a)\sqrt{1-a}$이다.