자연계열 I 3번

(1) 왼쪽 그릇의 높이 $\displaystyle h$인 지점에서 밑면에 평행하게 자른 단면은 반지름 $\displaystyle \sqrt{\frac12+2h-4h^2+4h^3}$인 원이므로, 왼쪽 그릇의 부피는$\displaystyle V=\int_0^3\pi\left(\frac12+2x-4x^2+4x^3\right)dx=\frac{111}2\pi$이다. 오른쪽 그릇은 반지름이 2인 구에서 윗부분이 1인 위치가 밑면에 평행하게 잘린 모양이므로, 오른쪽 그릇의 부피는$\displaystyle W=\int_{-2}^1\pi(4-x^2)\,dx=9\pi$이다.

(2) 왼쪽 그릇의 높이 $\displaystyle h$인 지점에서 밑면에 평행하게 자른 단면은 반지름 $\displaystyle \sqrt{\frac12+2h-4h^2+4h^3}$인 원이므로, 높이가 $\displaystyle h$인 지점까지 그릇의 부피는$\displaystyle V(h)=\int_0^h\pi\left(\frac12+2x-4x^2+4x^3\right)dx=\pi h\left(\frac12+h-\frac43h^2+h^3\right)$이다. 따라서 $\displaystyle h=1$를 대입하면 왼쪽 그릇에 담긴 물의 부피는 $\displaystyle V(1)=\frac76\pi$ 이다.

오른쪽 그릇은 반지름이 2인 구에서 윗부분이 1인 위치가 밑면에 평행하게 잘린 모양이므로, 높이가 $\displaystyle h$인 지점까지 그릇의 부피는$\displaystyle W(h)=\int_{-2}^{h-2}\pi(4-x^2)\,dx=\pi\left(4h-\frac13h^3+2h^2-4h\right)=\pi h^2\left(2-\frac13h\right)$이다. 따라서 $\displaystyle h=1$를 대입하면 오른쪽 그릇에 담긴 물의 부피는 $\displaystyle W(1)=\frac53\pi$ 이다.

(3) 함수 $\displaystyle f(h)=V(h)-W(h)=\pi h\left(\frac12-h-h^2+h^3\right)$이라 하자. 두 그릇에 담긴 물의 부피가 같아지는 높이 $\displaystyle h$, 즉 $\displaystyle V(h)=W(h)$를 만족하는 $\displaystyle h$가 0과 3사이에 존재한다는 것은$\displaystyle g(h)=\frac12-h-h^2+h^3=0$이 0과 3사이에서 근을 갖는다는 것과 같다.$\displaystyle g^{\prime}(h)=-1-2h+3h^2=0$이므로 $\displaystyle g(h)$는 $\displaystyle h=1,-\frac13$에서 극점을 갖는다. 극솟값이 $\displaystyle g(1)=-\frac12<0$이고 $\displaystyle g(3)=\frac{31}2>0$이므로, $\displaystyle g(h)$는 1과 3사이에서 근을 갖는다. 따라서 $\displaystyle V(h)=W(h)$를 만족하는 $\displaystyle h$가 0과 3사이에 적어도 하나 존재한다.