자연계열 II 2번

(1) 먼저 2차 다항식의 완전제곱식을 이용하여 다음 수식을 구하자.$\displaystyle g(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1$여기에서 $\displaystyle x\le1$ 또는 $\displaystyle x\ge1$인 범위에서 $\displaystyle g(x)$는 일대일 대응이 된다. 자연로그함수가 일대일 대응이므로 $\displaystyle g(x)$가 일대일 대응이 될 때 $\displaystyle h(x)=(f\circ g)(x)$도 일대일 대응이 된다. 따라서 구하는 최대범위는 $\displaystyle x\le1$ 또는 $\displaystyle x\ge1$ 중의 하나가 된다.

한편, 합성함수 미분에 대한 연쇄법칙을 사용하면 함수 $\displaystyle h(x)$의 도함수 $\displaystyle \frac{dh}{dx}$는 아래와 같이 계산된다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dh}{dx}&=\frac1{e^{g(x)}+1}e^{g(x)}\frac{dg}{dx}\\&=\frac1{e^{x^2-2x+a}+1}e^{x^2-2x+a}\cdot2(x-1)\qquad(A)\end{aligned}$이때 $\displaystyle x\le1$ 와 $\displaystyle x\ge1$ 중에 $\displaystyle \frac{dh}{dx}\ge0$ 조건을 만족하는 최대범위는 $\displaystyle x\ge1$ 이다.

(2) 합성함수 $\displaystyle h(x)=(f\circ g)(x)$는 아래와 같이 표현된다.$\displaystyle (f\circ g)(x)=\ln(e^{g(x)}+1)$자연로그함수가 증가함수이므로 $\displaystyle g(x)$가 최소일 때 $\displaystyle e^{g(x)}+1$이 최소이고 $\displaystyle (f\circ g)(x)$도 최소이다. (1)에서 정한 범위 $\displaystyle x\ge1$에서 $\displaystyle g(x)$가 증가함수이고 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=1$일 때 최솟값 $\displaystyle a-1$을 가지므로 합성함수 $\displaystyle h(x)$는 최솟값$\displaystyle h(1)=(f\circ g)(1)=f(a-1)=\ln(e^{a-1}+1)$을 갖는다. $\displaystyle h(x)$의 최솟값이 $\displaystyle 1$이므로 구하는 실수 $\displaystyle a=1+\ln(e-1)$이다.

(3) $\displaystyle y=\ln(1+e^a)$가 될 때 $\displaystyle \ln(e^{x^2-2x+a}+1)=\ln(1+e^a)$이므로 (1)에서 구한 범위 $\displaystyle x\ge1$에서 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle x=2$이다.수식 $\displaystyle (A)$로부터 아래와 같은 식을 얻는다.$\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac1{\frac{dy}{dx}}=\frac1{h^{\prime}(x)}$$\displaystyle h^{\prime}(2)=\frac{2e^a}{e^a+1}$이므로 구하는 값은 $\displaystyle \frac{e^a+1}{2e^a}$ (또는 $\displaystyle \frac12(1+e^{-a})$) 이다.