자연계열 II 1번

(1) 부등식 $\displaystyle (y+|x-2|-4)(y-|x+2|+4)\le0$은 다음 두 영역으로 나누어진다.(i) $\displaystyle y+|x-2|\le4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\ge-4$(ii) $\displaystyle y+|x-2|\ge4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\le-4$따라서 부등식을 만족하는 영역은 그래프 $\displaystyle y=-|x-2|+4$와 $\displaystyle y=|x+2|-4$에 의하여 분할된 좌표평면의 영역들 중 원점 $\displaystyle (0,0)$을 포함한 영역과 이 영역에 인접하지 않는 영역이다. 따라서 다음 두 집합$\displaystyle \{(x,y)\mid-4\le x\le4,\ |x+2|-4\le y\le-|x-2|+4\}$$\displaystyle \{(x,y)\mid x\le-4\text{ 또는 }4\le x,\ -|x-2|+4\le y\le|x+2|-4\}$의 합집합이며 구하는 영역은 아래와 같다.

(2) 주어진 부등식 $\displaystyle 2y+|x-2|-|x+2|\le4$이 나타내는 영역은$\displaystyle y=\frac{|x+2|-|x-2|}2+2$의 그래프 아래쪽의 점들이다. $\displaystyle x$의 값에 따라 $\displaystyle x\le-2,\ -2<x<2,\ 2\le x$로 나누어서 그래프를 그리면$\displaystyle y=\begin{cases}4&2\le x\\x+2&-2<x<2\\0&-2\ge x\end{cases}$이다. 따라서 구하는 영역은 아래와 같다.

(3) 절댓값 부호를 풀기 위하여 아래와 같이 그래프 $\displaystyle y=-|x-2|+4$와 $\displaystyle y=|x+2|-4$로 나누어지는 좌표 평면의 영역을 생각한다.(i) $\displaystyle y+|x-2|\ge4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\ge-4$(ii) $\displaystyle y+|x-2|\le4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\le-4$(iii) $\displaystyle y+|x-2|\le4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\ge-4$(iv) $\displaystyle y+|x-2|\ge4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\le-4$

(ㄱ)[영역(i)] $\displaystyle y+|x-2|\ge4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\ge-4$일 때 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{gathered}y+|x-2|-4+y-|x+2|+4\le4\\\Rightarrow\quad2y+|x-2|-|x+2|\le4\end{gathered}$이다. 그래프 $\displaystyle 2y+|x-2|-|x+2|=4$과 $\displaystyle y+|x-2|=4$는 $\displaystyle -2\le x\le2$에서 만나고, 그래프 $\displaystyle 2y+|x-2|-|x+2|=4$과 그래프 $\displaystyle y-|x+2|=-4$는 $\displaystyle x=\pm6$에서 만난다. 따라서 주어진 영역은 세 부등식$\displaystyle \begin{cases}y+|x-2|\ge4\\y-|x+2|\ge-4\\2y+|x-2|-|x+2|\le4\end{cases}$을 모두 만족하는 좌표 평면의 점으로 문항(2)에 따라 구하는 영역은 다음과 같다.

(ㄴ)[영역(ii)] $\displaystyle y+|x-2|\le4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\le-4$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{gathered}y+|x-2|-4+y-|x+2|+4\ge-4\\\Rightarrow\quad2y+|x-2|-|x+2|\ge-4\end{gathered}$이다. 영역 (i) 과 마찬가지로 그래프들을 살펴보면 그래프 $\displaystyle 2y+|x-2|-|x+2|=-4$과 $\displaystyle y+|x-2|=4$는 $\displaystyle x=\pm6$에서 만나고, 그래프 $\displaystyle 2y+|x-2|-|x+2|=-4$과 그래프 $\displaystyle y-|x+2|=-4$는 $\displaystyle -2\le x\le2$에서 만난다. 따라서 주어진 영역은 세 부등식$\displaystyle \begin{cases}y+|x-2|\le4\\y-|x+2|\le-4\\2y+|x-2|-|x+2|\ge-4\end{cases}$을 모두 만족하는 좌표 평면의 점으로 구하는 영역은 아래와 같다.

(ㄷ)[영역(iii)] $\displaystyle y+|x-2|\le4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\ge-4$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{gathered}-y-|x-2|+4+y-|x+2|+4\le4\\\Rightarrow\quad|x-2|+|x+2|\ge4\end{gathered}$이다. 주어진 영역에서 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -3\le x\le3$이므로 부등식 $\displaystyle |x-2|+|x+2|\ge4$이 항상 성립한다. 따라서 주어진 세 부등식Correction. 영역 (iii)의 범위 $\displaystyle -3\le x\le3$은 $\displaystyle -4\le x\le4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{cases}y+|x-2|\le4\\y-|x+2|\ge-4\\|x-2|+|x+2|\ge4\end{cases}$을 만족하는 좌표평면의 점의 집합은 주어진 영역과 같으며 아래 그림과 같다.

(ㄹ)[영역(iv)] $\displaystyle y+|x-2|\ge4$ 이고 $\displaystyle y-|x+2|\le-4$일 때, 부등식을 풀면$\displaystyle \begin{gathered}y+|x-2|-4-y+|x+2|-4\le4\\\Rightarrow\quad|x-2|+|x+2|\le12\end{gathered}$이다. 주어진 영역에서 $\displaystyle 3\le x$거나 $\displaystyle -3\ge x$이므로 부등식 $\displaystyle |x-2|+|x+2|\le12$를 $\displaystyle 3\le x$에서 풀면 $\displaystyle 3\le x\le6$이다. 마찬가지로 부등식 $\displaystyle |x-2|+|x+2|\le12$를 $\displaystyle -3\ge x$에서 풀면 $\displaystyle -6\le x\le-3$이다. 따라서 주어진 영역어서 구하는 부등식의 영역은 세 부등식Correction. 영역 (iv)의 범위 $\displaystyle -6\le x\le-3$ 또는 $\displaystyle 3\le x\le6$은 $\displaystyle -6\le x\le-4$ 또는 $\displaystyle 4\le x\le6$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{cases}y+|x-2|\ge4\\y-|x+2|\le-4\\-6\le x\le-3,3\le x\le6\end{cases}$을 만족하는 좌표평면의 점의 집합으로 아래 그림과 같다.

위 (ㄱ),(ㄴ),(ㄷ),(ㄹ)에서 구한 영역을 모두 합하여 구하는 부등식의 영역 $\displaystyle D$을 나타내면 아래와 같이 한변의 길이가 4인 정사각형 두 개와 밑변의 길이가 4이고 높이가 4인 평행사변형의 합집합이다.

따라서 구하는 영역의 넓이는 $\displaystyle 48$이다.