자연계열 1번

(1) 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle e^x>1+x$가 성립함을 보이시오.함수 $\displaystyle g(x)=e^x-1-x$를 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^x-1$이고, $\displaystyle g(0)=e^0-1=0$이다.평균값의 정리에 의하여 다음을 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (0,x)$ 안에 적어도 하나 존재한다.$\displaystyle \frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\frac{e^x-1-x}{x}=e^c-1=g^{\prime}(c)$$\displaystyle x$와 $\displaystyle c$가 양의 실수이므로 $\displaystyle e^c-1>0$이고 $\displaystyle x>0$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=xg^{\prime}(c)=x(e^c-1)>0$이다.결론적으로 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle e^x>1+x$가 성립한다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)$이 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가함을 평균값의 정리를 이용하여 보이시오.로그함수 $\displaystyle \ln x$의 도함수는 $\displaystyle \frac1x$이다. 평균값의 정리에 의하여 다음을 만족하는 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (x,x+1)$ 안에 적어도 하나 존재한다.$\displaystyle \ln(x+1)-\ln x=\frac1c$함수 $\displaystyle f(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)=x\ln\left(\frac{x+1}{x}\right)=x(\ln(x+1)-\ln x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln(x+1)-\ln x+x\left(\frac1{x+1}-\frac1x\right)=\ln(x+1)-\ln x-\frac1{x+1}$이고, $\displaystyle \frac1c>\frac1{x+1}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가한다.

(3) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 아래 조건 (i), (ii)를 만족하면 수렴한다.(i) $\displaystyle a_n\le a_{n+1}$ (단, $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)(ii) 어떤 양의 실수 $\displaystyle M$에 대하여 $\displaystyle a_n\le M$ (단, $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 일반항이 $\displaystyle b_n=\left(1+\frac1n\right)^n$ ($\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)일 때, 수열 $\displaystyle \{b_n\}$이 위의 조건 (i), (ii)를 만족함을 보임으로써 수렴함을 보이시오.(2)의 결과로부터 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln\left(1+\frac1x\right)$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가함수이므로, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 아래 부등식이 성립한다.$\displaystyle n\ln\left(1+\frac1n\right)\le(n+1)\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)$로그함수의 성질로부터$\displaystyle \ln\left(1+\frac1n\right)^n\le\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$이다. 로그함수 $\displaystyle \ln x$가 증가함수이므로$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$이 성립한다. 따라서 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 조건 (i)을 만족한다.(1)의 결과로부터 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 부등식 $\displaystyle e^x>1+x$이 성립하므로, 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 아래 부등식이 성립한다.$\displaystyle 1+\frac1n<e^{\frac1n}$로그함수는 증가함수이므로$\displaystyle \ln\left(1+\frac1n\right)<\ln e^{\frac1n}=\frac1n$이 성립한다. 로그함수의 성질로부터$\displaystyle \ln\left(1+\frac1n\right)^n=n\ln\left(1+\frac1n\right)<1=\ln e$이다. 로그함수 $\displaystyle \ln x$가 증가함수이므로$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n\le e$이 성립한다. 따라서 수열 $\displaystyle \{b_n\}$은 조건 (ii)를 만족한다.수열 $\displaystyle \{b_n\}$이 조건 (i), (ii)를 만족하므로 수렴한다.