자연계열 3번

(1) 포물선 $\displaystyle y=x^2+9$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{C}$에서의 접선이 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$와 수직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 구하시오.포물선 $\displaystyle y=x^2+9$의 점 $\displaystyle \mathrm{C}(c,c^2+9)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(c)=2c$이다.(i) $\displaystyle 2c=0$이면, 점 $\displaystyle \mathrm{C}(0,9)$에서의 접선은 $\displaystyle x$축과 평행하고 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$는 $\displaystyle y$축과 평행하므로 서로 수직이다.(ii) $\displaystyle 2c\ne0$이면, 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$는 기울기가 $\displaystyle \frac{(c^2+9)-0}{c-0}=\frac{c^2+9}c$이므로, 기울기 $\displaystyle f^{\prime}(c)=2c$인 접선과 수직이려면 $\displaystyle 2c\cdot\frac{c^2+9}c=-1$이어야 한다. 하지만 $\displaystyle 2(c^2+9)\ge2\cdot9>0$이므로 성립하지 않는다.따라서 구하는 점은 $\displaystyle \mathrm{C}(0,9)$로 유일하다.

(2) 포물선 $\displaystyle y=x^2+9$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$에서의 접선이 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$와 수직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표를 구하시오.포물선 $\displaystyle y=x^2+9$의 점 $\displaystyle \mathrm{D}(d,d^2+9)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(d)=2d$이다.(i) $\displaystyle 2d=0$이면, 점 $\displaystyle \mathrm{D}(0,9)$에서의 접선은 $\displaystyle x$축과 평행하다. 하지만 두 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$와 $\displaystyle \mathrm{D}(0,9)$를 이은 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$는 $\displaystyle y$축과 평행하지 않으므로 $\displaystyle \mathrm{D}(0,9)$에서의 접선과 수직이 아니다.(ii) $\displaystyle d=3$이면, 점 $\displaystyle \mathrm{D}(3,18)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(3)=6$이다. 그런데 두 점 $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$와 $\displaystyle \mathrm{D}(3,18)$을 이은 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$는 $\displaystyle y$축과 평행하므로 점 $\displaystyle \mathrm{D}(3,18)$에서의 접선은 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$와 수직이 아니다.(iii) $\displaystyle 2d\ne0,\ d\ne3$이면, 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$는 기울기가 $\displaystyle \frac{(d^2+9)-9}{d-3}=\frac{d^2}{d-3}$ 이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$에서의 접선과 수직이려면 $\displaystyle 2d\cdot\frac{d^2}{d-3}=-1$이어야 한다. 정리하면 $\displaystyle 0=2d^3+d-3=(d-1)(2d^2+2d+3)$이고, 이차방정식 $\displaystyle 2d^2+2d+3=0$은 판별식이 $\displaystyle 2^2-4\cdot2\cdot3=-20<0$이어서 실수해가 없으므로, $\displaystyle 2d^3+d-3=0$의 실수해는 $\displaystyle d=1$ 뿐이다.따라서 구하는 점은 $\displaystyle \mathrm{D}(1,10)$으로 유일하다.

(3) 포물선 $\displaystyle y=x^2+9$, 포물선 $\displaystyle y=x^2$과 선분 $\displaystyle \mathrm{AC},\mathrm{BD}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$는 $\displaystyle y$축의 일부이다. 직선 $\displaystyle x=1$의 왼쪽 부분은 $\displaystyle 0\le x\le1,\ x^2\le y\le x^2+9$로 나타내어진다.직선 $\displaystyle x=1$의 오른쪽 부분은 $\displaystyle 1\le x\le3$이며 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$ 아래에 있고 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 위에 있는 영역이다. $\displaystyle \mathrm{B}(3,9)$와 $\displaystyle \mathrm{D}(1,10)$를 잇는 선분 $\displaystyle \mathrm{BD}$는 기울기가 $\displaystyle \frac{10-9}{1-3}=-\frac12$이므로, 해당 부분은 $\displaystyle 1\le x\le3,\ x^2\le y\le-\frac{x}2+\frac{21}2$로 나타내어진다. 따라서 구하는 도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^1\{(x^2+9)-x^2\}dx+\int_1^3\left\{\left(-\frac{x}2+\frac{21}2\right)-x^2\right\}dx=\Biggl[9x\Biggr]_0^1+\Biggl[-\frac{x^2}4+\frac{21}2x-\frac{x^3}3\Biggr]_1^3=9+\frac{31}3=\frac{58}3$이다.