자연계열 2번

(1) 함수 $\displaystyle l(x)=e^x+e^{-x}$가 짝함수임을 보이시오.모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, 함수 $\displaystyle l(x)$가$\displaystyle l(-x)=e^{-x}+e^{-(-x)}=e^{-x}+e^x=l(x)$를 만족하므로 짝함수이다.

(2) 홀함수이면서 짝함수인 함수 $\displaystyle h(x)$를 모두 찾으시오.만약 함수 $\displaystyle h(x)$가 홀함수이면서 짝함수이면, $\displaystyle h(-x)=h(x)$이고 $\displaystyle h(-x)=-h(x)$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)=h(-x)=-h(x)$이므로 $\displaystyle h(x)=0$이다. 이러한 함수는 함숫값이 항상 $\displaystyle 0$인 상수함수 뿐이다.

(3) 홀함수 $\displaystyle f_1,f_2$와 짝함수 $\displaystyle g_1,g_2$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f_1(x)+g_1(x)=f_2(x)+g_2(x)$일 때, $\displaystyle f_1(x)=f_2(x),\ g_1(x)=g_2(x)$임을 보이시오.주어진 식을 변형하면$\displaystyle f_1(x)-f_2(x)=g_2(x)-g_1(x)$로 쓸 수 있다. 좌변을 살펴보면 $\displaystyle f_1,f_2$가 홀함수이므로$\displaystyle f_1(-x)-f_2(-x)=-f_1(x)+f_2(x)=-(f_1(x)-f_2(x)),$즉 $\displaystyle f_1(x)-f_2(x)$는 홀함수이다. 함수 $\displaystyle g_1,g_2$가 짝함수이므로$\displaystyle g_2(-x)-g_1(-x)=g_2(x)-g_1(x),$즉 $\displaystyle g_1(x)-g_2(x)$는 짝함수이다. 따라서 $\displaystyle f_1(x)-f_2(x),\ g_2(x)-g_1(x)$는 각각 홀함수이면서 짝함수이므로 (2)에 의해 $\displaystyle f_1(x)-f_2(x)=0,\ g_2(x)-g_1(x)=0$이다.

(4) 함수 $\displaystyle e^x$가 홀함수 $\displaystyle a(x)$와 짝함수 $\displaystyle b(x)$에 대하여 $\displaystyle e^x=a(x)+b(x)$일 때, $\displaystyle b(2021)-a(2021)$의 값을 구하시오.만약 함수 $\displaystyle e^x$가 홀함수 $\displaystyle a(x)$와 짝함수 $\displaystyle b(x)$에 대하여 $\displaystyle e^x=a(x)+b(x)$로 표현되면, (3)에 의해 한 쌍 뿐임을 알 수 있다. 문제 (1)을 활용하여 함수 $\displaystyle e^x$를 나타내면$\displaystyle e^x=\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)+\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)$이고 함수 $\displaystyle a(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$와 $\displaystyle b(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$가$\displaystyle a(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}2=\frac{e^{-x}-e^x}2=-a(x),$$\displaystyle b(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}2=\frac{e^{-x}+e^x}2=b(x)$를 만족하므로 문제에서 구하는 홀함수는 $\displaystyle a(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$이고 짝함수는 $\displaystyle b(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$이다.따라서 $\displaystyle b(2021)-a(2021)=e^{-2021}$이다.