자연계열 1번

함수 $\displaystyle g(x)=x^2-x-1$에 대하여, $\displaystyle g(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt5}2$이다.

따라서 $\displaystyle g(x)\le0$, 즉 $\displaystyle x^2\le x+1$의 해는 $\displaystyle \frac{1-\sqrt5}2\le x\le\frac{1+\sqrt5}2$이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt5}2$, $\displaystyle \beta=\frac{1+\sqrt5}2$이다.

구간 $\displaystyle [0,\beta]=\left[0,\frac{1+\sqrt5}2\right]$에서 함수 $\displaystyle f(x)=x+\frac1{x+1}$은 잘 정의되고, 구간 $\displaystyle \left(0,\frac{1+\sqrt5}2\right)$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac1{(x+1)^2}>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle \left[0,\frac{1+\sqrt5}2\right]$에서 증가함수이므로 $\displaystyle x=\frac{1+\sqrt5}2$에서 최댓값을 갖는다.

$\displaystyle f\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)=\frac{1+\sqrt5}2+\frac1{\frac{1+\sqrt5}2+1}=2$이므로 구간 $\displaystyle [0,\beta]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle 2$이다.

(i) 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 첫 항 $\displaystyle a_1=2\ge\frac{1+\sqrt5}2$이다.

$\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle a_k\ge\frac{1+\sqrt5}2$라 가정하면

$\displaystyle (a_{k+1})^2=a_k+1\ge\frac{1+\sqrt5}2+1=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^2$이 성립한다.

$\displaystyle a_{k+1}$이 양수이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때 부등식 $\displaystyle a_{k+1}\ge\frac{1+\sqrt5}2$가 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의해서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\ge\beta$가 성립한다.

(ii) 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 첫 항 $\displaystyle b_1=1\le\frac{1+\sqrt5}2$이다.

$\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle b_k\le\frac{1+\sqrt5}2$라 가정하면

$\displaystyle b_{k+1}=2-\frac1{b_k+1}\le2-\frac1{\frac{1+\sqrt5}2+1}=2-\frac2{3+\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}2$가 되어 $\displaystyle n=k+1$일 때 부등식 $\displaystyle b_{k+1}\le\frac{1+\sqrt5}2$가 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의해서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_n\le\beta$가 성립한다.

(i) 문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle x\ge\frac{1+\sqrt5}2$일 때 $\displaystyle x^2\ge x+1$이다.

문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle a_n\ge\frac{1+\sqrt5}2$이므로

$\displaystyle (a_{n+1})^2=a_n+1\le(a_n)^2$이 성립한다.

$\displaystyle a_n,a_{n+1}$이 양수이므로 $\displaystyle a_{n+1}\le a_n$이 성립한다.

(ii) 문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle 0\le x\le\frac{1+\sqrt5}2$일 때 $\displaystyle x+\frac1{x+1}\le2$이다.

양수 $\displaystyle b_n$은 문항 (2)의 결과로부터 $\displaystyle b_n\le\frac{1+\sqrt5}2$이므로 $\displaystyle b_n+\frac1{b_n+1}\le2$이다.

따라서$\displaystyle b_{n+1}=2-\frac1{b_n+1}\ge b_n$이 성립한다.