자연계열 3번

닫힌구간 $\displaystyle [1,n]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(k)=k\ (k=1,2,3,\cdots,n)$이고 조건 (나)를 만족하면 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 좌표평면의 두 점 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (n,n)$을 직선으로 연결한 일차함수의 그래프의 일부이다. 그래프가 두 점 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (n,n)$을 지나는 일차함수는 $\displaystyle f(x)=x$이므로

$\displaystyle \int_1^n f(x)dx=\int_1^n xdx=\Biggl[\frac{x^2}2\Biggr]_1^n=\frac{n^2-1}2$이다.

닫힌구간 $\displaystyle [1,n]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (가), (나)를 만족하면 닫힌구간 $\displaystyle [1,n]$에서 최솟값이 $\displaystyle 1$이므로 구간 $\displaystyle [1,n]$에서 함숫값이 모두 양수이다. 따라서 $\displaystyle \int_1^n f(x)dx$는 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프, $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=n$, $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이이다.

$\displaystyle k=1,2,3,\cdots,n-1$에 대하여 이 도형을 닫힌구간 $\displaystyle [k,k+1]$ 위의 도형으로 나누면 두 직선 $\displaystyle x=k$, $\displaystyle x=k+1$을 평행선으로 하는 사다리꼴이 된다. 구간 $\displaystyle [k,k+1]$위의 사다리꼴은 평행인 두 선분의 길이가 각각 $\displaystyle f(k)$, $\displaystyle f(k+1)$이고 높이가 $\displaystyle 1$이므로 이 사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle \frac{\{f(k)+f(k+1)\}\cdot1}2$이다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^n f(x)dx&=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{f(k)+f(k+1)}2\right)\\&=\left(\frac{f(1)+f(2)}2\right)+\left(\frac{f(2)+f(3)}2\right)+\cdots+\left(\frac{f(n-1)+f(n)}2\right)\\&=\frac{f(1)}2+f(2)+f(3)+\cdots+f(n-1)+\frac{f(n)}2\\&=\sum_{k=1}^n f(k)-\left(\frac{f(1)+f(n)}2\right)\end{aligned}$이다.조건 (가)에 의해$\displaystyle \{f(k)\mid k=1,2,3,\cdots,n\}=\{1,2,3,\cdots,n\}$이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2$이고$\displaystyle \int_1^n f(x)dx=\frac{n(n+1)}2-\left(\frac{f(1)+f(n)}2\right)$이다.

따라서 조건 (가), (나)를 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$들 중 $\displaystyle \frac{f(1)+f(n)}2$이 최댓값일 때 $\displaystyle \int_1^n f(x)dx$가 최솟값을 갖는다.조건 (가)에 따라 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(1)=n,f(n)=n-1$이거나 $\displaystyle f(1)=n-1,f(n)=n$일 때 $\displaystyle \frac{f(1)+f(n)}2$이 최댓값 $\displaystyle \frac{n+(n-1)}2=\frac{2n-1}2$이 되고

$\displaystyle \int_1^n f(x)dx$는 최솟값 $\displaystyle \frac{n(n+1)}2-\frac{2n-1}2=\frac{n^2-n+1}2$을 갖는다.

닫힌구간 $\displaystyle [1,n]$에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$가 조건 (가)를 만족하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 집합 $\displaystyle \{1,2,3,\cdots,n\}$에서 집합 $\displaystyle \{1,2,3,\cdots,n\}$으로의 일대일대응이다.문항 (2)에서 구한 $\displaystyle \int_1^n f(x)dx$가 최솟값을 갖는 함수 $\displaystyle f(x)$는집합 $\displaystyle \{1,2,3,\cdots,n\}$에서 집합 $\displaystyle \{1,2,3,\cdots,n\}$으로의 일대일대응이고$\displaystyle f(1)=n,f(n)=n-1$이거나 $\displaystyle f(1)=n-1,f(n)=n$을 만족해야 한다.

따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(1)=n,f(n)=n-1$이거나 $\displaystyle f(1)=n-1,f(n)=n$이고집합 $\displaystyle \{l\mid2\le l\le n-1\text{인 자연수}\}$에서 집합 $\displaystyle \{m\mid1\le m\le n-2\text{인 자연수}\}$로의 일대일대응이다.

집합 $\displaystyle \{l\mid2\le l\le n-1\text{인 자연수}\}$에서 집합 $\displaystyle \{m\mid1\le m\le n-2\text{인 자연수}\}$로의 일대일대응의 개수는 원소의 개수가 $\displaystyle n-2$인 집합에서 $\displaystyle (n-2)$개의 원소를 선택하여 나열하는 순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{n-2}\mathrm{P}_{n-2}=(n-2)!$이다.

그러므로 $\displaystyle \int_1^n f(x)dx$가 최솟값이 되는 함수 $\displaystyle f(x)$의 개수는 $\displaystyle 2(n-2)!$이다.