자연계열 2번

점 C의 좌표를 $\displaystyle (x,y,0)$로 두면 점 C로부터 각 점 O, A, B까지의 거리의 제곱은$\displaystyle \overline{\mathrm{CO}}^2=x^2+y^2,\quad\overline{\mathrm{CA}}^2=(2-x)^2+(-\sqrt2-y)^2,\quad\overline{\mathrm{CB}}^2=(2-x)^2+(\sqrt2-y)^2$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{CO}}^2=\overline{\mathrm{CA}}^2$으로부터 $\displaystyle 0=-4x+2\sqrt2y+6$을 얻고$\displaystyle \overline{\mathrm{CO}}^2=\overline{\mathrm{CB}}^2$으로부터 $\displaystyle 0=-4x-2\sqrt2y+6$을 얻는다.두 일차식을 연립하여 풀면 $\displaystyle 0=-8x+12$이므로 $\displaystyle x=\frac32$이고 $\displaystyle y=0$이다.

따라서 점 C의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac32,0,0\right)$이다.

점 H는 점 D에서 $\displaystyle xy$평면에 내린 수선의 발이므로$\displaystyle \angle\mathrm{DHO}=\angle\mathrm{DHA}=\angle\mathrm{DHB}=90^{\circ}$이다.피타고라스 정리에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}^2=\overline{\mathrm{DO}}^2-\overline{\mathrm{DH}}^2,\quad\overline{\mathrm{HA}}^2=\overline{\mathrm{DA}}^2-\overline{\mathrm{DH}}^2,\quad\overline{\mathrm{HB}}^2=\overline{\mathrm{DB}}^2-\overline{\mathrm{DH}}^2$

이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{DO}}=\overline{\mathrm{DA}}=\overline{\mathrm{DB}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}=\overline{\mathrm{HA}}=\overline{\mathrm{HB}}$를 얻는다.

따라서 점 H는 세 점 O, A, B로부터 같은 거리에 있는 $\displaystyle xy$평면 위의 점이므로 문항 (1)에서 구한 점 C와 같다.

점 D의 $\displaystyle xy$평면으로의 정사영, 즉 평면 OAB로의 정사영이 점 C이므로 삼각형 OAD를 평면 OAB로 정사영한 도형은 삼각형 OAC이다.

따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAC}=\triangle\mathrm{OAD}\cdot\cos\theta$이다.

삼각형 OAC의 넓이 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAC}$를 구하기 위해 선분 OC를 밑변으로 두면 변 OC가 $\displaystyle x$축에 포함되므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}=\frac32$이며 높이는 점 A의 $\displaystyle y$좌표의 절댓값 $\displaystyle \sqrt2$이다.따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAC}=\frac12\cdot\frac32\cdot\sqrt2=\frac{3\sqrt2}4$이다.삼각형 OAD는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{AD}}$인 이등변삼각형이므로 점 D에서 변 OA에 내린 수선의 발은 변 OA의 중점 M이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{2^2+(-\sqrt2)^2}=\sqrt6$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}}=\frac12\overline{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt6}2$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=t$라 하면 $\displaystyle \angle\mathrm{DMO}=90^{\circ}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MD}}^2=\overline{\mathrm{OD}}^2-\overline{\mathrm{OM}}^2=t^2-\frac32$이다.따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAD}=\frac12\overline{\mathrm{OA}}\cdot\overline{\mathrm{MD}}=\sqrt{\frac32\left(t^2-\frac32\right)}$이다.그러므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\triangle\mathrm{OAC}}{\triangle\mathrm{OAD}}=\frac{\frac{3\sqrt2}4}{\sqrt{\frac32\left(t^2-\frac32\right)}}$이다.

삼각함수의 덧셈정리에 의해 $\displaystyle \cos2\theta=\cos(\theta+\theta)=2\cos^2\theta-1$이 성립하므로

$\displaystyle -\frac15=\cos2\theta=2\cos^2\theta-1=2\cdot\frac{\left(\frac{3\sqrt2}4\right)^2}{\frac32\left(t^2-\frac32\right)}-1=\frac{3-t^2}{t^2-\frac32}$이다. 따라서 $\displaystyle t^2=\frac{27}8$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=t$는 양수이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=t=\frac{3\sqrt6}4$이다.