자연계열 1번

(1) $\displaystyle a_{1}$이 양의 실수일 때, $\displaystyle a_{2}\ge\sqrt{2}$이 성립함을 보이시오.풀이: 점 $\displaystyle (a,a^{2})$에서 $\displaystyle y=x^{2}$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-a^{2}=2a(x-a)$이다. 접선과 직선 $\displaystyle y=2$와의 교점은 $\displaystyle 2-a^{2}=2a(x-a)$를 만족한다. 이때 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle f(a)$이므로$\displaystyle f(a)=a+\frac{2-a^{2}}{2a}=\frac{a}{2}+\frac{1}{a}$이다.$\displaystyle a_{1}>0$에 대하여, $\displaystyle a_{2}=f(a_{1})=\frac{a_{1}}{2}+\frac{1}{a_{1}}$이다. 산술·기하평균 부등식에 의하여$\displaystyle a_{2}=\frac{a_{1}}{2}+\frac{1}{a_{1}}\ge2\sqrt{\frac{a_{1}}{2}\cdot\frac{1}{a_{1}}}=\sqrt{2}$이 성립한다.

(2) $\displaystyle a_{1}\ge\sqrt{2}$일 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}\ge\sqrt{2}$이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오.풀이: $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle a_{1}\ge\sqrt{2}$이다.$\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle a_{k}\ge\sqrt{2}$를 가정하자. $\displaystyle a_{k+1}=f(a_{k})=\frac{a_{k}}{2}+\frac{1}{a_{k}}$이 성립한다.$\displaystyle a_{k}$가 양수이므로 산술·기하평균 부등식에 의해서$\displaystyle a_{k+1}=\frac{a_{k}}{2}+\frac{1}{a_{k}}\ge2\sqrt{\frac{a_{k}}{2}\cdot\frac{1}{a_{k}}}=\sqrt{2}$이 성립한다.따라서 수학적 귀납법에 의해서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}\ge\sqrt{2}$가 성립한다.

(3) $\displaystyle a_{1}\ge\sqrt{2}$일 때, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}\le a_{n}$이 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle a_{1}\ge\sqrt{2}$이므로 문항(2)의 결과로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n}\ge\sqrt{2}$이 성립한다.$\displaystyle a_{n+1}=f(a_{n})=a_{n}+\frac{2-a_{n}^{2}}{2a_{n}}$이므로$\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=\frac{2-a_{n}^{2}}{2a_{n}}=\frac{(\sqrt{2}+a_{n})(\sqrt{2}-a_{n})}{2a_{n}}\le0$이 성립한다.

(4) 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle b_{n+1}\le b_{n}$이 성립함을 보이시오.풀이: $\displaystyle b_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right)$이므로, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right)=\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{a_{n}}=f(a_{n})=a_{n+1}$이 성립한다. $\displaystyle a_{1}$이 양수이므로 (1)의 결과로부터 $\displaystyle a_{2}\ge\sqrt{2}$이다. (2)의 증명과정의 수학적 귀납법을 이용하면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_{n+1}\ge\sqrt{2}$임을 알 수 있다.따라서$\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{2-a_{n+1}^{2}}{2a_{n+1}}=\frac{(\sqrt{2}+a_{n+1})(\sqrt{2}-a_{n+1})}{2a_{n+1}}\le0$이 성립한다.