자연계열 2번

(1) 식 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)dx}{t(b-a)^{3}}$의 값을 구하시오.풀이: $\displaystyle a,b$가 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3t(x-a)(x-b)$이다. 따라서$\displaystyle \int_{a}^{b}f^{\prime}(x)dx=\int_{a}^{b}3t(x-a)(x-b)dx=-\frac{1}{2}t(b-a)^{3}$이다. $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)dx}{t(b-a)^{3}}=\frac{-\frac{1}{2}t(b-a)^{3}}{t(b-a)^{3}}=-\frac{1}{2}$이다.

(2) $\displaystyle g(t_{0})=\frac{2\sqrt{5}}{5}$일 때, $\displaystyle t_{0}$의 값을 구하시오.풀이: 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$을 생각하면 주어진 조건 $\displaystyle g(t_{0})=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2\overline{\mathrm{AC}}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=b-a$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=f(a)-f(b)$이다. 문항 (1)의 풀이에서$\displaystyle f(a)-f(b)=-\int_{a}^{b}f^{\prime}(x)dx=\frac{1}{2}t(b-a)^{3}$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2\overline{\mathrm{AC}}$에 대입하면 $\displaystyle b-a=2(f(a)-f(b))=t(b-a)^{3}$이므로 $\displaystyle t(b-a)^{2}=1$이다.방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3tx^{2}+6x+3=0$의 두 근 $\displaystyle a,b$에 대한 근과 계수와의 관계에 의해$\displaystyle (b-a)^{2}=(b+a)^{2}-4ab=\left(\frac{-6}{3t}\right)^{2}-4\left(\frac{3}{3t}\right)=\frac{4-4t}{t^{2}}$를 만족한다. 여기서 $\displaystyle b>a$이므로 $\displaystyle 1-t>0$임을 알 수 있고 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3tx^{2}+6x+3=0$이 두 근을 가지는 조건과 일치한다. $\displaystyle 1=t(b-a)^{2}=t\left(\frac{4-4t}{t^{2}}\right)=\frac{4}{t}-4$를 풀면 답은 $\displaystyle t_{0}=\frac{4}{5}$이다.

(3) 문항 (2)의 $\displaystyle t_{0}$에 대하여, 직선 $\displaystyle x=a,y=f(b)$와 $\displaystyle y=f(x)$ ($\displaystyle x\ge a$)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.풀이: 삼차함수는 변곡점을 중심으로 점대칭이므로 도형의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이와 같다.따라서 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{\mathrm{BC}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}(b-a)\left(\frac{1}{2}t(b-a)^{3}\right)=\frac{1}{4}t(b-a)^{4}$이다. 문항 (2)의 풀이에서 $\displaystyle (b-a)^{2}=\frac{1}{t}$이고 $\displaystyle t=\frac{4}{5}$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{4t}=\frac{5}{16}$이다.

(4) 극한값 $\displaystyle \lim_{t\to0^{+}}\frac{g(t)}{t}$을 구하시오.풀이: $\displaystyle g(t)=\frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$이므로 먼저 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$를 구하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(f(a)-f(b))^{2}+(b-a)^{2}}$이다. 문항 (2)의 풀이에서 $\displaystyle f(a)-f(b)=\frac{1}{2}t(b-a)^{3}$이고 $\displaystyle (b-a)^{2}=\frac{4-4t}{t^{2}}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{\left(\frac{t(b-a)^{3}}{2}\right)^{2}+(b-a)^{2}}=\sqrt{\frac{(4-4t)^{3}}{4t^{4}}+\frac{4-4t}{t^{2}}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=b-a=\sqrt{\frac{4-4t}{t^{2}}}$이다. 따라서$\displaystyle \frac{g(t)}{t}=\frac{1}{t}\sqrt{\frac{\frac{4-4t}{t^{2}}}{\frac{(4-4t)^{3}+4t^{2}(4-4t)}{4t^{4}}}}=\sqrt{\frac{4}{(4-4t)^{2}+4t^{2}}}$이고 $\displaystyle \lim_{t\to0^{+}}\frac{g(t)}{t}=\sqrt{\frac{4}{(4)^{2}}}=\frac{1}{2}$이다.