자연계열 3번

(1) $\displaystyle a>-1$일 때, 좌표 평면의 점 $\displaystyle \left(a,\frac{a+1}{3}\right)$에서 직선 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle a$로 나타내시오.풀이: 직선 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$와 수직인 기울기는 $\displaystyle -\frac{4}{3}$이므로 점 $\displaystyle \left(a,\frac{a+1}{3}\right)$를 지나고 기울기 $\displaystyle -\frac{4}{3}$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-\frac{a+1}{3}=-\frac{4}{3}(x-a)$이다. 이 직선과 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$의 교점을 구하면 $\displaystyle \left(\frac{4a-1}{5},\frac{3a+3}{5}\right)$이다.

(2) 실수 $\displaystyle a$에 대하여 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 집합 $\displaystyle A$와 두 점에서 만나는 반지름 $\displaystyle r$이 있을 때, 실수 $\displaystyle a$를 모두 구하시오.풀이: 집합 $\displaystyle A$는 좌표평면에서 함수 $\displaystyle y=\frac{3}{8}(|x|-|x-2|+4)$의 그래프와 그보다 위에 있는 점들이다. 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$가 집합 $\displaystyle A$와 두 점에서 만나려면 $\displaystyle y=\frac{3}{8}(|x|-|x-2|+4)$의 그래프 중$\displaystyle y=\frac{3}{8}(x-(x-2)+4)=\frac{9}{4}\ (x\ge2),\quad y=\frac{3}{8}(x+(x-2)+4)=\frac{3}{4}(x+1)\ (0<x<2)$와 각각 한 점에서 만나는 때이다. 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 $\displaystyle y=\frac{9}{4}$ ($\displaystyle x\ge2$)과 한 점에서 만나려면 원의 중심 $\displaystyle (a,r)$이 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{8}$ 위에 있어야 한다. 그리고 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$ ($\displaystyle 0<x<2$)과 한 점에서 만나려면 원의 중심 $\displaystyle (a,r)$은 직선 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$과 $\displaystyle x$축까지의 거리가 같은 점으로$\displaystyle \frac{\left|y-\frac{3}{4}(x+1)\right|}{\sqrt{1^{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}=|y|$를 만족하고 $\displaystyle y$좌표가 양수이므로 $\displaystyle y=\frac{x+1}{3}$ 위에 있다. 두 직선 $\displaystyle y=\frac{9}{8}$와 $\displaystyle y=\frac{x+1}{3}$의 교점이 $\displaystyle \left(\frac{19}{8},\frac{9}{8}\right)$이므로 구하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \frac{19}{8}$이다.

(3) $\displaystyle a>-1$일 때, 함수 $\displaystyle f(a)$를 구하시오.풀이: 구하는 함수 $\displaystyle f(a)$는 구간 $\displaystyle a>-1$에서 함수 $\displaystyle y=\frac{3}{8}(|x|-|x-2|+4)$의 그래프와 한 점 또는 두 점에서 만나는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$의 중심의 $\displaystyle y$좌표이다. 문항 (2)에서 $\displaystyle a=\frac{19}{8}$일 때만 두 점에서 만나므로 구간 $\displaystyle a>-1$에서 실수 $\displaystyle a=\frac{19}{8}$를 제외한 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f(a)$는 $\displaystyle y=\frac{3}{8}(|x|-|x-2|+4)$의 그래프와 한 점에서 만나는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$의 중심의 $\displaystyle y$좌표이다.Comment. 여기서는 원이 경계 그래프와 한두 점에서 만날 뿐 아니라, 집합 $\displaystyle A$의 내부로 들어가지 않아야 한다. 예를 들어 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle r=\frac34$인 원은 경계 그래프와 두 점에서 만나지만 $\displaystyle A$와는 무한히 많은 점에서 만나므로 문제의 조건을 만족하지 않는다. 대학 답안의 최종 함수식은 옳다.(ㄱ) 문항 (2)에 따라 구간 $\displaystyle a\ge\frac{19}{8}$에서 그래프$\displaystyle y=\frac{3}{8}(x-(x-2)+4)=\frac{9}{4}\ (x\ge2)$와 한 점에서 만나는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$의 중심은 $\displaystyle \left(a,\frac{9}{8}\right)$이다. 따라서 이 구간에서 함숫값은 $\displaystyle f(a)=\frac{9}{8}\ \left(a\ge\frac{19}{8}\right)$이다.(ㄴ) 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 그래프$\displaystyle y=\frac{3}{8}(x+(x-2)+4)=\frac{3}{4}(x+1)\ (0\le x<2)$와 한 점에서 만나려면 원의 중심 $\displaystyle (a,r)$은 직선 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$과 $\displaystyle x$축까지의 거리가 같은 점으로 문항(2)에 따라 중심은 $\displaystyle y=\frac{x+1}{3}$ 위에 있다. 따라서 원의 중심은 $\displaystyle \left(a,\frac{a+1}{3}\right)$으로 표현되고 이 점에서 그래프 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$ ($\displaystyle 0<x<2$)에 내린 수선의 발은 문항 (1)에 따라 $\displaystyle \left(\frac{4a-1}{5},\frac{3a+3}{5}\right)$로 나타난다. $\displaystyle a=\frac{1}{4}$일 때 그래프 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$ ($\displaystyle 0\le x<2$)의 끝점 $\displaystyle \left(0,\frac{3}{4}\right)$이 수선의 발이 되므로 함수 $\displaystyle f(a)$는 구간 $\displaystyle \frac{1}{4}\le a<\frac{19}{8}$에서 그래프 $\displaystyle y=\frac{3}{4}(x+1)$ ($\displaystyle 0\le x<2$)와 한 점에서 만나는 조건으로 결정된다. 따라서 여기서 구하는 함수는 $\displaystyle f(a)=\frac{a+1}{3}\ \left(\frac{1}{4}\le a<\frac{19}{8}\right)$이다.(ㄷ) 구간 $\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$에서는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$가 그래프의 점 $\displaystyle \left(0,\frac{3}{4}\right)$과 한 점에서 만나므로 $\displaystyle (0-a)^{2}+\left(\frac{3}{4}-r\right)^{2}=r^{2}$을 만족한다. 반지름 $\displaystyle r=\frac{2}{3}a^{2}+\frac{3}{8}$이므로 여기서 구하는 함수는 $\displaystyle f(a)=\frac{2}{3}a^{2}+\frac{3}{8}\ \left(0<a<\frac{1}{4}\right)$이다.(ㄹ) 구간 $\displaystyle -1<a\le0$에서는 원 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}$이 그래프$\displaystyle y=\frac{3}{8}(-x+(x-2)+4)=\frac{3}{4}\ (x\le0)$와 한 점에서 만나야 하므로 원의 중심은 $\displaystyle \left(a,\frac{3}{8}\right)$이고 함수는 $\displaystyle f(a)=\frac{3}{8}\ (-1<a\le0)$이다.정리하면 구하는 함수는$\displaystyle f(a)=\begin{cases}\dfrac{3}{8}&(-1<a\le0)\\\dfrac{2}{3}a^{2}+\dfrac{3}{8}&\left(0<a<\dfrac{1}{4}\right)\\\dfrac{a+1}{3}&\left(\dfrac{1}{4}\le a<\dfrac{19}{8}\right)\\\dfrac{9}{8}&\left(\dfrac{19}{8}\le a\right)\end{cases}$이다.