자연계열 II 1번

(1) $\displaystyle \mathrm{P}\left(0,\frac{1}{4}\right)$일 때, 접선과 $\displaystyle y=x^{2}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.풀이: 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(0,\frac{1}{4}\right)$를 지나며 기울기가 $\displaystyle m$인 직선은 $\displaystyle y=mx+\frac{1}{4}$이다. 이 직선이 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$의 접선일 때는 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{4}=mx+\frac{1}{4}$가 중근을 가질 때이므로 판별식 $\displaystyle D=m^{2}=0$에 따라 $\displaystyle m=0$이다.따라서 접선은 $\displaystyle y=\frac{1}{4}$이고 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}-x^{2}\right)dx=\frac{1}{6}$이다.

(2) $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle |a_{2}-a_{1}|=1$임을 보이시오.풀이: 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(t,t^{2}+\frac{1}{4}\right)$를 지나며 기울기가 $\displaystyle m$인 직선은 $\displaystyle y=m(x-t)+t^{2}+\frac{1}{4}$이다. 이 직선이 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$의 접선일 때는 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{4}=m(x-t)+t^{2}+\frac{1}{4}$, 즉 $\displaystyle x^{2}-mx+mt-t^{2}=0$이 중근을 가질 때이므로 $\displaystyle D=(m-2t)^{2}=0$이므로 $\displaystyle m=2t$이다. 따라서 접선은 $\displaystyle y=2t(x-t)+t^{2}+\frac{1}{4}$이다.접선과 $\displaystyle y=x^{2}$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle a_{1},a_{2}$가 $\displaystyle x^{2}-2tx+t^{2}-\frac{1}{4}=0$의 근이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $\displaystyle (a_{2}-a_{1})^{2}=(a_{2}+a_{1})^{2}-4a_{2}a_{1}=(2t)^{2}-4\left(t^{2}-\frac{1}{4}\right)=1$이고 $\displaystyle |a_{2}-a_{1}|=1$이다.

(3) $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=7$일 때, 접선의 기울기를 구하시오.풀이: $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=7$이므로 $\displaystyle (a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}=49=\overline{\mathrm{QR}}^{2}$이다.따라서 문항 (2)로부터 $\displaystyle |a_{2}-a_{1}|=1$이므로 $\displaystyle |b_{2}-b_{1}|=\sqrt{48}$이다. 따라서 기울기는 $\displaystyle \frac{b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$이므로 구하는 직선의 기울기는 $\displaystyle 4\sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle -4\sqrt{3}$이다.

(4) 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(k,k^{2}+\frac{1}{4}\right)$에서 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$에 대한 접선의 기울기를 $\displaystyle m_{k}$라고 하고 접선과 $\displaystyle y=x^{2}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle A_{k}$라고 하자. 이때 $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(m_{k}^{2}-24A_{k})}$의 값을 구하시오.풀이: 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(k,k^{2}+\frac{1}{4}\right)$에서 $\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{4}$에 대한 접선은 기울기가 $\displaystyle 2k$인 직선이므로 접선의 방정식은$\displaystyle y=2k(x-k)+k^{2}+\frac{1}{4}$이다. 이 직선과 $\displaystyle y=x^{2}$의 교점을 구하면, $\displaystyle x^{2}=2k(x-k)+k^{2}+\frac{1}{4}$의 해가 $\displaystyle x=k\pm\frac{1}{2}$이므로$\displaystyle \left(k-\frac{1}{2},\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}\right),\left(k+\frac{1}{2},\left(k+\frac{1}{2}\right)^{2}\right)$이다.따라서 접선과 $\displaystyle y=x^{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}\left\{\left(2k(x-k)+k^{2}+\frac{1}{4}\right)-x^{2}\right\}dx$이다.$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}}\left\{2kx-k^{2}+\frac{1}{4}-x^{2}\right\}dx\\&=k\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}\right\}+\left(-k^{2}+\frac{1}{4}\right)\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)-\left(k-\frac{1}{2}\right)\right\}-\frac{1}{3}\left\{\left(k+\frac{1}{2}\right)^{3}-\left(k-\frac{1}{2}\right)^{3}\right\}\\&=\frac{1}{6}\end{aligned}$이므로 $\displaystyle k$에 관계없이 일정하다. 따라서 $\displaystyle m_{k}=2k$이고 $\displaystyle A_{k}=\frac{1}{6}$이므로$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(m_{k}^{2}-24A_{k})}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{4k^{2}-4}=\frac{1}{4}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}-1)}$이다. 이때 급수 $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}-1)}$의 제 $\displaystyle 2$항부터 제 $\displaystyle k$항까지의 부분합을 $\displaystyle S_{k}$이라고 하면$\displaystyle \frac{1}{(k^{2}-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_{k}&=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)\right)\\&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\end{aligned}$이고 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}S_{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{3}{4}$이다.따라서 $\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(m_{k}^{2}-24A_{k})}=\frac{1}{4}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k^{2}-1)}=\frac{3}{16}$이다.