자연계열 II 3번

(1) 중심이 $\displaystyle y$축에 있고 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 한 점에서 만나며 직선 $\displaystyle y=2x$에 접하는 원의 방정식을 모두 구하시오.풀이: 구하는 원의 중심을 $\displaystyle (0,a)$라고 두면 이 점이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$의 밖에 있거나 안에 있을 수 있다. 원의 중심이 원의 밖에 있을 때 반지름의 길이는 $\displaystyle |a|-1$이고 원의 안에 있을 때 반지름의 길이가 $\displaystyle 1-|a|$이다.반지름의 길이가 $\displaystyle |a|-1$일때 직선 $\displaystyle y-2x=0$과 점 $\displaystyle (0,a)$의 거리도 원의 반지름의 길이와 같으므로$\displaystyle \frac{|a-2\cdot0|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=|a|-1$이다. 이 식을 계산하면 $\displaystyle |a|=\frac{5+\sqrt{5}}{4}$이다. 반지름의 길이가 $\displaystyle 1-|a|$일 때 직선 $\displaystyle y-2x=0$과 점 $\displaystyle (0,a)$의 거리도 원의 반지름의 길이와 같으므로$\displaystyle \frac{|a-2\cdot0|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=1-|a|$이다. 이 식을 계산하면 $\displaystyle |a|=\frac{5-\sqrt{5}}{4}$이다.따라서 구하는 원의 방정식은 모두$\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2},x^{2}+\left(y+\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$$\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2},x^{2}+\left(y+\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$이다.

(2) 문항 (1)에서 구한 원은 모두 직선 $\displaystyle y=-2x$에 접함을 보이시오.풀이: 문항 (1)에서 구한 원의 중심과 직선 $\displaystyle y+2x=0$의 거리가 원의 반지름의 길이와 같으면 원이 직선 $\displaystyle y+2x=0$에 접한다.원 $\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$의 중심 $\displaystyle \left(0,\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)$와 직선 $\displaystyle y+2x=0$의 거리는 $\displaystyle \frac{\left|\frac{5+\sqrt{5}}{4}+2\cdot0\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$이다. 이 거리는 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}$와 같으므로 원과 직선이 접한다. 마찬가지로 원 $\displaystyle x^{2}+\left(y+\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$의 중심 $\displaystyle \left(0,-\frac{5+\sqrt{5}}{4}\right)$와 직선 $\displaystyle y+2x=0$의 거리도 $\displaystyle \frac{\left|-\frac{5+\sqrt{5}}{4}+2\cdot0\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$이다. 이 거리 또한 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}$와 같으므로 원과 직선이 접한다.원 $\displaystyle x^{2}+\left(y-\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$의 중심 $\displaystyle \left(0,\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)$와 직선 $\displaystyle y+2x=0$의 거리는 $\displaystyle \frac{\left|\frac{5-\sqrt{5}}{4}+2\cdot0\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$이다. 이 거리는 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$와 같으므로 원과 직선이 접한다. 마찬가지로 원 $\displaystyle x^{2}+\left(y+\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^{2}$의 중심 $\displaystyle \left(0,-\frac{5-\sqrt{5}}{4}\right)$와 직선 $\displaystyle y+2x=0$의 거리도 $\displaystyle \frac{\left|-\frac{5-\sqrt{5}}{4}+2\cdot0\right|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$이다. 이 거리 또한 반지름의 길이 $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$와 같으므로 원과 직선이 접한다.

(3) 중심이 $\displaystyle x$축 또는 $\displaystyle y$축에 있고 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 한 점에서 만나며 직선 $\displaystyle y=2x$에 접하는 모든 원에 대하여 반지름의 길이의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.풀이: 원의 중심이 $\displaystyle y$축에 있는 경우 원의 반지름은 문항 (1)에서 모두 구하여 $\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}$, $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$이다.중심이 $\displaystyle x$축에 있는 원의 중심을 $\displaystyle (b,0)$라고 하자. 이 점이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 밖에 있으면 구하는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle |b|-1$이고 원 안에 있으면 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 1-|b|$이다. 직선 $\displaystyle y-2x=0$과 점 $\displaystyle (b,0)$의 거리도 원의 반지름의 길이와 같으므로 구하는 중심이 원 밖에 있을 때$\displaystyle \frac{|0-2\cdot b|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=|b|-1$이다. 이 식을 계산하면 $\displaystyle |b|=5+2\sqrt{5}$이다. 따라서 중심이 $\displaystyle x$축에 있고 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 밖에서 조건을 만족하는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle 4+2\sqrt{5}$이다. 마찬가지로 구하는 원의 중심이 원 안에 있을 때$\displaystyle \frac{|0-2\cdot b|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=1-|b|$이다. 이 식을 계산하면 $\displaystyle |b|=5-2\sqrt{5}$이다. 따라서 중심이 $\displaystyle x$축에 있고 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 안에서 조건을 만족하는 원은 반지름의 길이가 $\displaystyle -4+2\sqrt{5}$이다.이제 조건을 만족하는 원들의 반지름의 길이의 크기를 모두 비교하면$\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}<-4+2\sqrt{5}<\frac{1+\sqrt{5}}{4}<4+2\sqrt{5}$이다. 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 $\displaystyle (4+2\sqrt{5})+\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{15+9\sqrt{5}}{4}$이다.