자연계열 1번

한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 모의 1회 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015mo_1/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 계단을 한 번에 두 계단 혹은 한 계단을 오를 수 있다고 하자. 10개의 계단을 연속적으로 두 계단 씩 3번 오른 후 나머지 4개의 계단을 연속적으로 한 계단 씩 4번 사용하여 오르는 방법은 다음과 같은 처음 3개의 항이 2이고 나머지 4개의 항이 1인 길이가 7인 수열과 자연스럽게 대응 할 수 있다. $\displaystyle 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1$ 따라서 10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오르는 방법의 수는 세 개의 2와 네 개의 1로 이루어진 길이가 7인 수열의 개수와 같다.

<나> $\displaystyle n$ 개의 2와 $\displaystyle m$ 개의 1로 이루어진 길이가 $\displaystyle n+m$ 인 수열의 개수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{n+m}\mathrm{C}_{n}={}_{n+m}\mathrm{C}_{m}=\frac{(n+m)!}{n!m!}$

<다> 모 집합 $\displaystyle U$ 의 원소의 개수가 $\displaystyle n$ 이고 $\displaystyle U$ 의 부분집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수가 $\displaystyle m$ 일 때, $\displaystyle A$ 의 여집합 $\displaystyle A^{c}$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle n-m$ 이다.

1-1. 10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 아홉 번째 계단을 밟고 오르는 경우의 수를 구하여라. [10점]

1-2. 10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 네 번째 계단을 밟지 않고 오르는 경우의 수를 구하여라. [10점]

1-3. 10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 여섯 번째 계단을 (반드시) 밟고 오르는 경우의 수를 구하여라. [10점]

해설강의 준비중

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5점 · 1

1. [풀이]10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 아홉 번째 계단을 (반드시) 밟고 오르려면 처음 아홉 개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 3번 사용하여 오르고 나머지 한 계단을 한 번에 올라야 한다.

10점 · 1

따라서 제시문 <가>와 <나>를 참조하면 구하는 경우의 수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{6}\mathrm{C}_{3}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}=\frac{6!}{3!3!}\times\frac{1!}{1!1!}=20$

3점 · 2

2. [풀이]10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 네 번째 계단을 (반드시) 밟지 않고 오르려면 처음 세 개의 계단을 오른 후, 한 번에 두 계단 이용하여 다섯 번째 계단에 오르고 나머지 다섯 계단을 올라야 한다.

6점 · 2

이의 경우는 처음 세 개의 계단을 두 계단 씩 1번 그리고 한 계단 씩 1번 사용하여 오르고 마지막 다섯 계단을 두 계단 씩 1번 그리고 한 계단 씩 3번 사용하여 오르는 경우와 처음 세 개의 계단을 한 계단 씩 3번 사용하여 오르고 마지막 다섯 계단을 두 계단 씩 2번 그리고 한 계단 씩 1번 사용하여 오르는 경우의 합이 된다.

10점 · 2

따라서 제시문 <가>와 <나>를 참조하면 구하는 경우의 수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{2}\mathrm{C}_{1}\times{}_{4}\mathrm{C}_{1}+{}_{3}\mathrm{C}_{3}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}=8+3=11$

3점 · 3

3. [풀이]10개의 계단을 두 계단 씩 3번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오를 때, 여섯 번째 계단을 (반드시) 밟고 오르려면 처음 여섯 개의 계단을 오른 후 나머지 네 계단을 올라가야 한다.

6점 · 3

이의 경우는 처음 여섯 개의 계단을 두 계단 씩 3번 사용하여 오른 후 나머지 네 개의 계단을 한 계단 씩 4번 사용하여 오르는 경우, 처음 여섯 개의 계단을 두 계단 씩 2번 그리고 한 계단 씩 2번 사용하여 오른 후 나머지 네 개의 계단을 두 계단 씩 1번 그리고 한 계단 씩 2번 사용하여 오르는 경우, 그리고 처음 여섯 개의 계단을 두 계단 씩 1번 그리고 한 계단 씩 4번 사용하여 오른 후 나머지 네 개의 계단을 두 계단 씩 2번 사용하여 오르는 경우의 합이 된다.

10점 · 3

따라서 제시문 <가>와 <나>를 참조하면 구하는 경우의 수는 다음과 같다. $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{4}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{3}\mathrm{C}_{1}+{}_{5}\mathrm{C}_{1}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2}=1+18+5=24$

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