수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 모의 1회 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015mo_1/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> 정사각형 행렬 D\displaystyle D에 대하여 DX=E\displaystyle DX=E 또는 XD=E\displaystyle XD=E를 만족하는 정사각형 행렬 X\displaystyle X가 존재하면, X\displaystyle X는 D\displaystyle D의 역행렬 D−1=X\displaystyle D^{-1}=X이다. (단, E\displaystyle E는 D\displaystyle D와 같은 꼴인 단위행렬이다.)

<나> 2×1\displaystyle 2\times1행렬 A=(a1a2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}에 대하여 A∗\displaystyle A^*를 1×2\displaystyle 1\times2행렬 A∗=(a1,a2)\displaystyle A^*=(a_1,a_2)라 정의한다. A=(a1a2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}, B=(b1b2)\displaystyle B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}일 때, 행렬 곱셈의 정의에 의해 AB∗=(a1b1a1b2a2b1a2b2)\displaystyle AB^*=\begin{pmatrix}a_1b_1&a_1b_2\\a_2b_1&a_2b_2\end{pmatrix}이고 A∗B=a1b1+a2b2\displaystyle A^*B=a_1b_1+a_2b_2이다.

<다> 행렬 A=(pq)\displaystyle A=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} (단, pq≠0\displaystyle pq\ne0, p2+q2=1\displaystyle p^2+q^2=1)에 대하여, 좌표평면에서 행렬 E+AA∗\displaystyle E+AA^*으로 나타내어지는 일차변환을 f\displaystyle f라 하자. 일차변환 f\displaystyle f에 의하여 자기 자신으로 옮겨지는 좌표평면위의 직선 l\displaystyle l이 존재한다.

3-1. 제시문 <나>에서 B∗A≠−1\displaystyle B^*A\ne-1일 때, 행렬 E+AB∗\displaystyle E+AB^*의 역행렬이 (E+AB∗)−1=E−AB∗B∗A+1\displaystyle (E+AB^*)^{-1}=E-\frac{AB^*}{B^*A+1}임을 보이시오. [10점]

3-2. 제시문 <다>에서 일차변환 f\displaystyle f에 의하여 직선 l:x+ky=0\displaystyle l:x+ky=0이 같은 직선 l\displaystyle l로 옮겨질 때, k\displaystyle k의 값을 구하시오. (단, k≠0\displaystyle k\ne0) [15점]

3-3. 제시문 <다>의 일차변환 f\displaystyle f과 행렬 C=(pq−qp)\displaystyle C=\begin{pmatrix}p&q\\-q&p\end{pmatrix}으로 나타내어지는 일차변환 g\displaystyle g에 대하여, 합성변환 g∘f\displaystyle g\circ f가 원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1을 도형 G\displaystyle G로 옮길 때, G\displaystyle G의 방정식을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

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7. [풀이](E+AB∗)(E−AB∗B∗A+1)=E+AB∗−1B∗A+1AB∗−1B∗A+1AB∗AB∗=E+(1−1B∗A+1)AB∗−B∗AB∗A+1AB∗\displaystyle \begin{aligned}(E+AB^*)\left(E-\frac{AB^*}{B^*A+1}\right)&=E+AB^*-\frac{1}{B^*A+1}AB^*-\frac{1}{B^*A+1}AB^*AB^*\\&=E+\left(1-\frac{1}{B^*A+1}\right)AB^*-\frac{B^*A}{B^*A+1}AB^*\end{aligned}

10점 · 7

=E+(1−1+B∗AB∗A+1)AB∗=E\displaystyle \begin{aligned}&=E+\left(1-\frac{1+B^*A}{B^*A+1}\right)AB^*\\&=E\end{aligned}

따라서 제시문 <가>에 의하여 (E+AB∗)−1=E−AB∗B∗A+1\displaystyle (E+AB^*)^{-1}=E-\frac{AB^*}{B^*A+1}이다.

5점 · 8

8. [풀이]일차 변환 f\displaystyle f에 의하여 직선 l\displaystyle l위의 점 (x,y)\displaystyle (x,y)가 점 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})으로 옮겨진다고 하면,(x′y′)=(E+AA∗)(xy)=(1+p2pqpq1+q2)(xy)=((1+p2)x+pqypqx+(1+q2)y)\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}&=(E+AA^*)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+p^2&pq\\pq&1+q^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}(1+p^2)x+pqy\\pqx+(1+q^2)y\end{pmatrix}\end{aligned}이다.따라서, {x′=(1+p2)x+pqyy′=pqx+(1+q2)y\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=(1+p^2)x+pqy\\y^{\prime}=pqx+(1+q^2)y\end{cases}.

10점 · 8

직선 l\displaystyle l이 변환 f\displaystyle f에 의하여 변하지 않으므로, x′+ky′=0\displaystyle x^{\prime}+ky^{\prime}=0이고,((1+p2)x+pqy)+k(pqx+(1+q2)y)=0\displaystyle ((1+p^2)x+pqy)+k(pqx+(1+q^2)y)=0 또는 ((1+p2)+kpq)x+(k(1+q2)+pq)y=0\displaystyle ((1+p^2)+kpq)x+(k(1+q^2)+pq)y=0.위 직선이 직선 l\displaystyle l과 일치하려면(1+p2)+kpq=k(1+q2)+pqk\displaystyle (1+p^2)+kpq=\frac{k(1+q^2)+pq}{k}

15점 · 8

를 만족해야한다. 위 식을 정리하면pqk2+(p2−q2)k−pq=0\displaystyle pqk^2+(p^2-q^2)k-pq=0을 얻을 수 있다. 따라서k=−(p2−q2)±(p2−q2)2+4p2q22pq\displaystyle k=\frac{-(p^2-q^2)\pm\sqrt{(p^2-q^2)^2+4p^2q^2}}{2pq} 또는 k=qp,−pq\displaystyle k=\frac qp,-\frac pq

5점 · 9

9. [풀이]합성변환 g∘f\displaystyle g\circ f에 의하여 원 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1 위의 점 (x,y)\displaystyle (x,y)가 점 (x′,y′)\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})으로 옮겨진다고 하면,(x′y′)=C(E+AA∗)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=C(E+AA^*)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.A∗A=p2+q2=1\displaystyle A^*A=p^2+q^2=1이므로 C\displaystyle C의 역행렬이 존재하고, 문제 1에 의하여(xy)=(E+AA∗)−1C−1(x′y′)=(E−12AA∗)C−1(x′y′)=12(1+q2−pq−pq1+p2)(p−qqp)(x′y′)=12(p−2qq2p)(x′y′)\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=(E+AA^*)^{-1}C^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\left(E-\frac12AA^*\right)C^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}\\&=\frac12\begin{pmatrix}1+q^2&-pq\\-pq&1+p^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&-q\\q&p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}p&-2q\\q&2p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}\end{aligned}따라서 {x=12(px′−2qy′)y=12(qx′+2py′)\displaystyle \begin{cases}x=\frac12(px^{\prime}-2qy^{\prime})\\y=\frac12(qx^{\prime}+2py^{\prime})\end{cases}

10점 · 9

이것을 x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1에 대입시켜 정리하면14(p2+q2)(x′)2+(p2+q2)(y′)2=1\displaystyle \frac14(p^2+q^2)(x^{\prime})^2+(p^2+q^2)(y^{\prime})^2=1 또는 (x′)222+(y′)2=1\displaystyle \frac{(x^{\prime})^2}{2^2}+(y^{\prime})^2=1

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