자연계열 3번

7. [풀이]$\displaystyle \begin{aligned}(E+AB^*)\left(E-\frac{AB^*}{B^*A+1}\right)&=E+AB^*-\frac{1}{B^*A+1}AB^*-\frac{1}{B^*A+1}AB^*AB^*\\&=E+\left(1-\frac{1}{B^*A+1}\right)AB^*-\frac{B^*A}{B^*A+1}AB^*\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=E+\left(1-\frac{1+B^*A}{B^*A+1}\right)AB^*\\&=E\end{aligned}$

8. [풀이]일차 변환 $\displaystyle f$에 의하여 직선 $\displaystyle l$위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면,$\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}&=(E+AA^*)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+p^2&pq\\pq&1+q^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}(1+p^2)x+pqy\\pqx+(1+q^2)y\end{pmatrix}\end{aligned}$이다.따라서, $\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=(1+p^2)x+pqy\\y^{\prime}=pqx+(1+q^2)y\end{cases}$.

직선 $\displaystyle l$이 변환 $\displaystyle f$에 의하여 변하지 않으므로, $\displaystyle x^{\prime}+ky^{\prime}=0$이고,$\displaystyle ((1+p^2)x+pqy)+k(pqx+(1+q^2)y)=0$ 또는 $\displaystyle ((1+p^2)+kpq)x+(k(1+q^2)+pq)y=0$.위 직선이 직선 $\displaystyle l$과 일치하려면$\displaystyle (1+p^2)+kpq=\frac{k(1+q^2)+pq}{k}$

를 만족해야한다. 위 식을 정리하면$\displaystyle pqk^2+(p^2-q^2)k-pq=0$을 얻을 수 있다. 따라서$\displaystyle k=\frac{-(p^2-q^2)\pm\sqrt{(p^2-q^2)^2+4p^2q^2}}{2pq}$ 또는 $\displaystyle k=\frac qp,-\frac pq$

9. [풀이]합성변환 $\displaystyle g\circ f$에 의하여 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 점 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면,$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=C(E+AA^*)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.$\displaystyle A^*A=p^2+q^2=1$이므로 $\displaystyle C$의 역행렬이 존재하고, 문제 1에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=(E+AA^*)^{-1}C^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\left(E-\frac12AA^*\right)C^{-1}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}\\&=\frac12\begin{pmatrix}1+q^2&-pq\\-pq&1+p^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p&-q\\q&p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}p&-2q\\q&2p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle \begin{cases}x=\frac12(px^{\prime}-2qy^{\prime})\\y=\frac12(qx^{\prime}+2py^{\prime})\end{cases}$

이것을 $\displaystyle x^2+y^2=1$에 대입시켜 정리하면$\displaystyle \frac14(p^2+q^2)(x^{\prime})^2+(p^2+q^2)(y^{\prime})^2=1$ 또는 $\displaystyle \frac{(x^{\prime})^2}{2^2}+(y^{\prime})^2=1$