수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015mo_1/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

<가> x\displaystyle x에 관한 다항식 f(x)\displaystyle f(x)가 (x−a)2\displaystyle (x-a)^{2}으로 나누어떨어지기 위한 필요충분조건은 f(a)=0\displaystyle f(a)=0, f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

<나> 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고 그 구간에서 항상 f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 구간에서 단조증가 한다.

<다> 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c) (단, a<c<b\displaystyle a<c<b)인 c\displaystyle c가 적어도 하나 존재한다.

2-1. n\displaystyle n을 자연수라고 할 때, 다항식 f(x)=anxn+1+bnxn+1\displaystyle f(x)=a_nx^{n+1}+b_nx^{n}+1이 (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2}으로 나누어떨어지도록 an\displaystyle a_n, bn\displaystyle b_n을 구하여라. [10점]

2-2. 함수 f(x)=(x+2)e−x\displaystyle f(x)=(x+2)e^{-x}의 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 x>0\displaystyle x>0에서 단조 증가하는 것을 보이고, 이를 이용하여 0<a<b\displaystyle 0<a<b일 때 −(a+1)e−a<(b+2)e−b−(a+2)e−ab−a<−(b+1)e−b\displaystyle -(a+1)e^{-a}<\frac{(b+2)e^{-b}-(a+2)e^{-a}}{b-a}<-(b+1)e^{-b}가 성립함을 증명하여라. [10점]

2-3. 함수 f(x)=32x(1−x)\displaystyle f(x)=\frac32x(1-x)라 하고 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}에 대하여 a1=12\displaystyle a_1=\frac12, an+1=f(an)\displaystyle a_{n+1}=f(a_n) (n=1,2,…\displaystyle n=1,2,\ldots)이고, 13<an<12\displaystyle \frac13<a_n<\frac12 (n≥2\displaystyle n\ge2)이 만족될 때, 3an+1−13an−1<12\displaystyle \frac{3a_{n+1}-1}{3a_n-1}<\frac12임을 보여라. [15점]

해설강의 준비중

한양대 에리카캠퍼스 2015학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang-erica/2015mo_1/jayeon_2

10점 · 4

4. [풀이]f(x)=anxn+1+bnxn+1\displaystyle f(x)=a_nx^{n+1}+b_nx^n+1에서 f′(x)=(n+1)anxn+nbnxn−1\displaystyle f^{\prime}(x)=(n+1)a_nx^n+nb_nx^{n-1}이다.f(x)\displaystyle f(x)가 (x−1)2\displaystyle (x-1)^2으로 나누어떨어지기 위한 조건은 제시문 <가>에서f(1)=an+bn+1=0\displaystyle f(1)=a_n+b_n+1=0이고 f′(1)=(n+1)an+nbn=0\displaystyle f^{\prime}(1)=(n+1)a_n+nb_n=0이다. 이들을 풀면 an=n\displaystyle a_n=n, bn=−n−1\displaystyle b_n=-n-1

3점 · 5

5. [풀이]f′(x)=−xe−x−e−x=−(x+1)e−x\displaystyle f^{\prime}(x)=-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}이고 f′′(x)=xe−x\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=xe^{-x}이다. x>0\displaystyle x>0에서 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0이므로 제시문<나>에 의하여 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)는 단조증가 한다.

6점 · 5

f(x)\displaystyle f(x)에 대해 제시문<다>에 의하여f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)인 a<c<b\displaystyle a<c<b가 반드시 적어도 하나 존재한다.

10점 · 5

또한 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 단조증가 하므로 f′(a)<f′(c)<f′(b)\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(c)<f^{\prime}(b)이다.따라서 −(a+1)e−a<(b+2)e−b−(a+2)e−ab−a<−(b+1)e−b\displaystyle -(a+1)e^{-a}<\frac{(b+2)e^{-b}-(a+2)e^{-a}}{b-a}<-(b+1)e^{-b}이다.

5점 · 6

6. [풀이]13<an<12\displaystyle \frac13<a_n<\frac12, f(x)=32x(1−x)\displaystyle f(x)=\frac32x(1-x)이므로 f(13)=13\displaystyle f\left(\frac13\right)=\frac13이다.

10점 · 6

제시문 <다>에 의하여f(an)−13an−13=f′(c)\displaystyle \frac{f(a_n)-\frac13}{a_n-\frac13}=f^{\prime}(c), 13<c<an\displaystyle \frac13<c<a_n을 만족하는 c\displaystyle c가 존재한다.

15점 · 6

f′(x)=32−3x\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac32-3x이고 f′(c)<f′(13)=12\displaystyle f^{\prime}(c)<f^{\prime}\left(\frac13\right)=\frac12이므로3an+1−13an−1<12\displaystyle \frac{3a_{n+1}-1}{3a_n-1}<\frac12이 된다.

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