자연계열 2번

4. [풀이]$\displaystyle f(x)=a_nx^{n+1}+b_nx^n+1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(n+1)a_nx^n+nb_nx^{n-1}$이다.$\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle (x-1)^2$으로 나누어떨어지기 위한 조건은 제시문 <가>에서$\displaystyle f(1)=a_n+b_n+1=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(1)=(n+1)a_n+nb_n=0$이다. 이들을 풀면 $\displaystyle a_n=n$, $\displaystyle b_n=-n-1$

5. [풀이]$\displaystyle f^{\prime}(x)=-xe^{-x}-e^{-x}=-(x+1)e^{-x}$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=xe^{-x}$이다. $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이므로 제시문<나>에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 단조증가 한다.

$\displaystyle f(x)$에 대해 제시문<다>에 의하여$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle a<c<b$가 반드시 적어도 하나 존재한다.

또한 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 단조증가 하므로 $\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(c)<f^{\prime}(b)$이다.따라서 $\displaystyle -(a+1)e^{-a}<\frac{(b+2)e^{-b}-(a+2)e^{-a}}{b-a}<-(b+1)e^{-b}$이다.

6. [풀이]$\displaystyle \frac13<a_n<\frac12$, $\displaystyle f(x)=\frac32x(1-x)$이므로 $\displaystyle f\left(\frac13\right)=\frac13$이다.

제시문 <다>에 의하여$\displaystyle \frac{f(a_n)-\frac13}{a_n-\frac13}=f^{\prime}(c)$, $\displaystyle \frac13<c<a_n$을 만족하는 $\displaystyle c$가 존재한다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac32-3x$이고 $\displaystyle f^{\prime}(c)<f^{\prime}\left(\frac13\right)=\frac12$이므로$\displaystyle \frac{3a_{n+1}-1}{3a_n-1}<\frac12$이 된다.