자연계열 1번

1-1. [풀이] 제시문 <라>에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\frac16$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(B)=6\mathrm{P}(A\cap B)$이다. 또한, 제시문 <다>와 <라>로부터 $\displaystyle \mathrm{P}(B\mid A)=1-\mathrm{P}(B^c\mid A)=\frac12$, $\displaystyle \mathrm{P}(A)=2\mathrm{P}(A\cap B)$이다. 제시문 <가>에서 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(A)=2\mathrm{P}(A\cap B)$와 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=6\mathrm{P}(A\cap B)$를 대입하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(A\cup B)}{\mathrm{P}(A\cap B)}=7$이다.

1-2. [풀이] 두 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$가 독립이므로, 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B^c$가 독립이다. 따라서 <나>로부터 다음 식을 얻는다.$\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)=\frac16\mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(B)=\frac16\mathrm{P}(A^c\cap B)$. 이 때 $\displaystyle \mathrm{P}(B)\ne0$ 이므로 양 변을 $\displaystyle \mathrm{P}(B)$로 나누면 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac16\mathrm{P}(A^c)$이다.한편 제시문 <다>를 이용하면 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac17$을 얻는다. 따라서 두 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$가 독립이므로, $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A)=\frac17$이다.

1-3. [풀이] 두 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$가 독립이므로, 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B^c$가 독립이다. 따라서 제시문 <나>와 <라>에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A)=\frac12$이고, $\displaystyle \mathrm{P}(B^c\mid A)=\mathrm{P}(B^c)=\frac23$이다. 또한 제시문 <다>로 부터 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=1-\mathrm{P}(B^c)=\frac13$이다. 이 때 제시문 <가>를 적용하면 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$ 이다. 그리고 사건 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$가 독립이므로 제시문 <나>에 의해 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)=\frac16$이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cup B)=\frac12+\frac13-\frac16=\frac23$이다.